misure delle grandezze - numeri reali
GRANDEZZE COMMENSURABILI ED INCOMMENSURABILI
DEFINIZIONE. Un insieme di enti costituisce una classe di grandezze, se per tali enti è possibile definire le relazioni di uguaglianza e disuguaglianza e le operazioni di addizione e di sottrazione, in modo che queste relazioni e queste operazioni godano delle solite proprietà formali
Sono grandezze geometriche : i segmenti, gli angoli, le superfici dei poligoni ecc.
Si dicono grandezze omogenee quelle appartenenti alla stessa classe.
PROPRIETA' DELLE GRANDEZZE
a) date due grandezze omogenee A e B esiste una ed una sola delle tre relazioni :
A = B oppure A > B oppure A < B
e ciascun caso esclude gli altri due;
b) l'uguaglianza gode delle proprietà riflessiva simmetrica e tansitiva
A=A se A=B è anche B = A
se A = C e C = B è anche A=B
c) per la disuguaglianza vale la sola proprietà transitiva
se A>B e B>C allora A>C
d) l'addizione gode delle proprietà commutativa associativa e dissociativa
A+B = B+A (A+B)+ C = A+ (B+C)
e) somme e differenze di grandezze uguali sono uguali
se A= A' e B = B' è anche A+B = A'+B'
e se è A >A' e B> B' con A= B e A' = B' allora A - A' = B- B';
f) se A>B e A' > B' allora A+B > A'+B'
e se A>A' e B>B' con A>B e B<B' allora A-A' >B-B'
Vogliamo confrontare le due grandezze A e B i casi possibili sono tre :
1° caso
La grandezza A contiene m volte esattamente B
IN tale caso la grandezza A è uguale alla somma di m grandezze tutte uguali a B cioè
A= B'+ B"......+ B m volte = m x B
La grandezza A sara dunque multipla di B secondo il numero m e il simbolo B= 1/m x A
significa che la grandezza B è sottomultipla o parte aliquota di A secondo m
L'intuizione ci conduce ad ammettere i seguenti postulati :
a) postulato della divisibilità. Data una qualsiasi grandezza A, esiste ed è unica la sua n-esima parte, cioè 1/n x A
b) Postulato di Eudosso-Archimede . Date due qualsiasi grandezze omogenee disuguali A e B esiste sempre un multiplo della minore che supera la maggiore
Così se A >B esisterà certamente un multiplo mB della minore B che superi A tale cioè che mB>A
2° caso La grandezza A contiene soltanto m volte esattamente un ennesimo della grandezza B.
In tale caso la grandezza A è uguale alla somma di m grandezze tutte uguali ad una della tante parti in cui è stata suddivisa la grandezza B secondo il numero n cioè uguale ad m grandezze uguali a B/n.
e si dice che la grandezza A è multipla secondo il numero m della sottomultipla di B secondo il numero n.
3° La grandezza A non contiene un numero esatto di vote nè la grandezza B ne alcuna delle sue parti aliquote di essa.
In quest'ultimo caso la grandezza A non può dirsi somma nè m addendi tutti uguali a B nè di m addendi tutti uguali a B/n.
Nel 1° caso si potrà scrivere A/B= m e si dice che il rapporto tra le grandezze A e B è il numero intero m.
Nel 2° caso si potrà scrivere che A/B = m/n e si dice che il rapporto tra le grandezze A e B è il numero frazionario m/n
Nel 3° caso non esiste alcun numero intero o frazionario (n razionale) che è uguale al rapporto tra le grandezze A e B
Si conclude che quando confrontando le due grandezze A e B si verifica il 1° caso e il 2° caso, le due grandezze si dicono commensurabili e che quando si verifica il 3° casso si dicono incommensurabili.
Die grandesse omogenee A e B si dicono commensurabili quando ammettono una multipla comune, cioè quando esistono due numeri interi m, n tali che si abbiam n x A= m x
Considerando invece i sottomultipli dei due membri dell'uguaglianza si ha :
A/m = B/n
e si dice : se due grandezze hanno una multipla comune, esser hanno anche una summultipla comune
DEFINIZIONE. Due grandezze omogenee A e B si dicono incommensurabili qunado non ammettono alcuna multipla e quindi alcuna sottomultipla comune.
esempi di coppie di grandezze incommensurabili sono
1) il lato e la diagonale di un quadrato
2) il lato e l'altezza di un triangolo equilatero
