proprietà del permutare e dell'invertire - matematica

consideriamo la proporzione 

12:4 = 21:7 ;

scambiando  in essa i due medi o i due estremi si ha

12:21 = 4:7      oppure 7:4 = 21 : 12

queste sono due nuove proporzioni  perché entrambe come si può facilmente verificare il prodotto dei medi è uguale a quello dei due estremi  cioè

se in una qualsiasi  proporzione si scambiano  fra loro i due medi o i due estremi  si ha una nuova proporzione

questa operazione  prende il nome di proprietà del permutare

data una proporzione

20:5 = 12:3

se scambiamo  ogni antecedente con il suo conseguente  otteniamo 

5:20 = 3:12

che è una nuova proporzione come risulta evidente verificando  che il prodotto 20 x 3 = 60  dei due medi è uguale al prodotto 5x 12  dei due estremi  cioè

se in una qualsiasi  proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ha una nuova proporzione

Questa operazione prende i nome di  proprietà dell'invertire

le proporzioni matematiche

definizioni
consideriamo due rapporti uguali  ed esempio

18:3= 6                     e 42:7 = 6

per la proprietà transitiva  dell'uguaglianza si ha :

18:3 =42:7 

Un'uguaglianza di due rapporti  che si legge 18 sta a 3 come 42 sta a 7 prende il nome di proporzione
cioè

una proporzione è l'uguaglianza di due rapporto

i numeri, 3, 18 ,42, 7 si dicono termini della proporzione  il primo e il quarto sono gli estremi  ed il secondo e il terzo sono medi.  Inoltre  il primo e il terzo cioè il 18 e il 42 si dicono antecedenti  ed il secondo e il quarto conseguenti

proprietà delle proporzioni

Dati due qualsiasi rapporti uguali  18/6  = 3         e 12/4 = 3  consideriamo la proporzione 

18:6 = 12 :4  oppure 18/6 =12/4    (1)

e riduciamo le due frazioni  dell'ultima uguaglianza allo stesso denominatore  assumendo come tale  il prodotto  6x4 dei loro denominatori si avrà

18x4/6x4 = 12x6//4x6          18x4/24 =12x6/24

poiché le due frazioni  uguali aventi uguali denominatori  hanno anche i numeratori uguali  dall'ultima uguaglianza  si trae:

18x4=12x6                    (2)

osservate iche il primo membro  della (2) è il prodotto  degli estremi  della data proporzione (1) n e che il secondo membro è il prodotto  degli estremi  si ha dunque una proprietà fondamentale:

In ogni proporzione il prodotto dei medi  è uguale al prodotti degli estremi
 
Viceversa
Quattro numeri in un certo ordine  formano una proporzione se  il prodotto del primo e del quarto  è uguale al prodotto del secondo per il terzo

dati per esempio 4 numeri

9; 3; 15; 5

poiché si ha che  9x5=45    e 3x15 =45

risulta che 9x5=15x5

infatti  il rapporto 9:3= 3 è uguale al rapporto 15:5 = 3

Ne consegue che dati quattro numeri  per assicurarsi se nell'ordine assegnato formano una proporzione occorre verificare se il rapporto del primo al secondo  è uguale al rapporto del terzo al quarto   o se il prodotto  del primo e del quarto  è uguale al prodotto del secondo per il terzo