matematica - sistemi di equazioni di primo grado
Considerando un'equazione con due incognite come per esempio
5x - 3y = 9
Se ad una delle incognite, mettiamo alla y, si attribuisce un valore arbitrario, si ottiene un equazione di primo grado nella sola incognita x; risolvendola otteniamo un valore per la x, che assieme al valore assegnato alla y costituisce una soluzione della data equazione.
Quando si danno alla y, successivamente valori diversi, si ottengono per la x altrettanti valori determinati e siccome ciascun valore della y e il corrispondente valore della x costituiscono una soluzione dell'equazione, possiamo affermare che l'equazione stessa ha infinite soluzioni, ed è perciò indeterminata,
Quello che abbiamo detto per la speciale equazione esaminata, lo si può ripetere in ogni caso, cioè
Una equazione a più incognite ammette, in generale, infinite soluzioni.
Consideriamo ora due equazioni nelle stesse incognite, come per esempio
5x-2y= 4 e 3x+4y = 18
Il problema che ci si pone è quello di riconoscere se fra le infinite soluzioni della prima equazione e le infinite soluzioni della seconda vi è una soluzione comune, cioè se vi è una coppia di valore per x e per y che verifica contemporaneamente le due equazioni. Nel nostro caso questa coppia esiste effettivamente perché è facile constatare che per x=2 e y = 3 ambedue le equazioni sono verificate.
La questione prospettata può essere posta in generale e cioè
Date più equazioni nelle stesse incognite, ricercare le eventuali soluzioni comuni ossia ogni sistema di valori delle incognite che trasformano le equazioni in identità
L'insieme di più equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente si chiama sistema di equazioni e le equazioni stesse si dicono simultanee.
Ogni equazione comune a tutte le equazioni di un sistema, si dice soluzione del sistema.
Risolvere un sistema di equazioni significa trovarne le eventuali soluzioni. Può darsi che un sistema non ammetta nessuna soluzione e allora si dice impossibile; se invece ammette delle soluzioni si dice possibile. Un sistema possibile si dice determinato se il numero delle soluzioni è limitato; si dice indeterminato se il numero delle soluzioni è infinito.
Due sistemi con le stesse incognite si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni dell'uno sono soluzioni anche dell'altro.
Due sistemi equivalenti ad un terzo sono equivalenti fra loro.
Per risolvere un sistema si cerca di trasformarlo in un altro equivalente del quale si sappia trovare con facilità le soluzioni e a questo scopo si applicano determinati criteri.
Se alle equazioni di un sistema si sostituiscono equazioni rispettivamente equivalenti si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Le equazioni del sistema, quando faccia comodo, possono essere trasformate in modo che i secondi membri si riducano a zero.
Ogni sistema di equazioni può essere trasformato in un altro equivalente nel quale le equazioni siano tutte intere.
In questo caso si ricordi che nel liberare le equazioni dai denominatori si possono eventualmente introdurre delle soluzioni estranee, che dovranno essere scartate dopo un conveniente esame.
