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domenica 17 luglio 2022

misure delle grandezze - numeri reali

 misure delle grandezze - numeri reali 


GRANDEZZE COMMENSURABILI ED INCOMMENSURABILI 

 DEFINIZIONE. Un insieme di enti costituisce una classe di grandezze, se per tali enti è possibile definire le relazioni di uguaglianza e disuguaglianza e le operazioni di addizione e di sottrazione, in modo che queste relazioni e queste operazioni godano delle solite  proprietà formali  

Sono grandezze geometriche : i segmenti, gli angoli, le superfici dei poligoni ecc.

Si dicono grandezze omogenee quelle appartenenti alla stessa classe.

PROPRIETA' DELLE GRANDEZZE

a) date due grandezze omogenee A e B esiste una ed una sola delle tre relazioni  :

A = B     oppure         A > B     oppure  A < B

 e ciascun caso  esclude gli altri due;

b) l'uguaglianza gode delle proprietà riflessiva  simmetrica e tansitiva 

A=A     se A=B   è anche   B = A  

se A = C e C = B  è anche  A=B

c) per la disuguaglianza vale la sola proprietà transitiva 

se A>B e B>C  allora  A>C

d) l'addizione  gode delle proprietà commutativa associativa e dissociativa 

A+B = B+A    (A+B)+ C = A+ (B+C)

e) somme e differenze di grandezze uguali sono uguali 

se A= A'    e B = B'  è anche A+B = A'+B' 

e se è A >A' e B> B'  con A= B e A' = B' allora  A - A' = B- B';

f) se A>B  e A' > B'  allora  A+B  > A'+B' 

e se  A>A'  e B>B'  con A>B e B<B'  allora A-A' >B-B'

Vogliamo confrontare le due grandezze A e B i casi possibili sono tre :


1° caso 

La grandezza A contiene m volte esattamente B 

IN tale caso la grandezza A è uguale alla somma di m grandezze tutte uguali a B cioè 

A= B'+ B"......+ B m volte = m x B

La grandezza A sara dunque multipla di B secondo il numero m e il simbolo  B= 1/m x A

significa che  la grandezza  B è sottomultipla o parte aliquota di A secondo m

L'intuizione  ci conduce ad ammettere i seguenti postulati  :

a) postulato della divisibilità. Data una qualsiasi grandezza A, esiste  ed è unica la sua n-esima parte, cioè 1/n x A

b) Postulato  di Eudosso-Archimede . Date due qualsiasi grandezze omogenee disuguali A e B esiste sempre un multiplo  della minore che supera la maggiore 

Così se A >B esisterà certamente un multiplo mB della minore B che superi A  tale cioè che mB>A

2° caso  La grandezza A contiene soltanto m volte esattamente un ennesimo della grandezza B.

In tale caso la grandezza A è uguale alla somma di m grandezze tutte uguali  ad una della tante parti in cui è stata suddivisa la grandezza B secondo il numero n cioè uguale ad m grandezze uguali a B/n.

e si dice che la grandezza A è multipla secondo il numero m della sottomultipla di B secondo il numero n.

3° La grandezza A non contiene un numero esatto di vote nè la grandezza B ne alcuna delle sue parti aliquote di essa.

In quest'ultimo  caso la grandezza A non può dirsi  somma nè m addendi  tutti uguali a B nè di m addendi tutti uguali a B/n.

Nel 1° caso  si potrà scrivere A/B= m e si dice che il rapporto tra le grandezze A e B è il numero intero m.

Nel 2° caso  si potrà scrivere che A/B = m/n e si dice che il rapporto tra le grandezze  A e B è il numero frazionario m/n 

Nel 3° caso  non esiste alcun numero intero o frazionario (n razionale) che è uguale al rapporto tra le grandezze A e B 

Si conclude che quando confrontando le due grandezze A e B  si verifica il 1° caso e il 2° caso, le due grandezze si dicono  commensurabili e che quando si verifica il 3° casso si dicono incommensurabili.

Die grandesse omogenee A e B si dicono commensurabili quando ammettono una multipla comune, cioè quando esistono due numeri interi m, n tali che si abbiam n x A= m x  

Considerando  invece i sottomultipli dei due membri dell'uguaglianza si ha : 

A/m = B/n

e si dice : se due grandezze hanno una multipla comune, esser hanno anche una summultipla comune 

DEFINIZIONE. Due grandezze omogenee  A e B si dicono incommensurabili  qunado non ammettono alcuna multipla e quindi alcuna sottomultipla comune.

esempi di coppie di grandezze incommensurabili  sono 

1) il lato  e la diagonale di un quadrato 

2) il lato e l'altezza di un triangolo equilatero