Ecco una guida pratica e chiara per risolvere espressioni numeriche che contengono numeri decimali limitati, illimitati periodici semplici, illimitati periodici misti e misti tra loro (tipico di scuola media / prima superiore).
Regola d'oro (la più importante!)
Quando nell’espressione ci sono decimali periodici (soprattutto se misti o se devi fare divisioni / sottrazioni / moltiplicazioni lunghe), quasi sempre conviene trasformare tutti i numeri decimali in frazioni generatrici → poi si fa il calcolo esatto con le frazioni → alla fine (se serve) si ritrasforma in decimale.
Calcolare direttamente con i decimali periodici porta quasi sempre a errori di approssimazione o a conti lunghissimi.
Tabella veloce: come trasformare in frazione generatrice
| Tipo di decimale | Esempio | Regola per trovare la frazione | Frazione generatrice |
|---|---|---|---|
| Decimale limitato | 0,75 3,28 | Numeratore = tutto senza virgola Denominatore = 1 + zeri quante cifre decimali | 75/100 = 3/4 328/100 = 82/25 |
| Periodico semplice | 0,333… = 0,\overline{3} | x = 0,333… 10x = 3,333… sottrai → 9x = 3 → x = 3/9 | 1/3 |
| Periodico misto | 0,1666… = 0,1\overline{6} | x = 0,1666… 10x = 1,666… 100x = 16,666… sottrai → 90x = 15 → x = 15/90 | 1/6 |
| Periodico misto più cifre | 0,25444… = 0,25\overline{4} | x = 0,25444… 100x = 25,444… 1000x = 254,444… sottrai → 900x = 229 → x = 229/900 | 229/900 |
Metodo consigliato passo-passo per risolvere l’espressione
- Scrivi l’espressione
- Trasforma ogni numero decimale in frazione generatrice
- Sostituisci nella espressione → ottieni solo frazioni + parentesi
- Risolvi rispettando la gerarchia delle operazioni (parentesi → potenze → ×÷ → +-)
- Semplifica il più possibile la frazione finale
- Se l’esercizio chiede il risultato decimale → fai la divisione (o lascia come frazione se è esatta)
Esempio 1 – Facile (limitati + periodico semplice)
Calcola: 2,4 + 0,\overline{3} × 1,5 – 0,75
Passo-passo:
- 2,4 = 24/10 = 12/5
- 0,\overline{3} = 1/3
- 1,5 = 15/10 = 3/2
- 0,75 = 75/100 = 3/4
Espressione → 12/5 + (1/3) × (3/2) – 3/4
Ora calcola:
- (1/3) × (3/2) = 3/6 = 1/2
- 12/5 + 1/2 – 3/4
Minimo comune multiplo di 5,2,4 = 20
- 12/5 = 48/20
- 1/2 = 10/20
- 3/4 = 15/20
48/20 + 10/20 – 15/20 = (48 + 10 – 15)/20 = 43/20 = 2,15
Esempio 2 – Medio (con periodico misto)
Calcola: 0,2\overline{7} + 1,3 × (0,8 – 0,\overline{18})
Prima trasformiamo:
- 0,2\overline{7} = 0,2777… → x=0,2777… → 10x=2,777… → 100x=27,777… → sottrai → 90x=25 → x=25/90=5/18
- 0,\overline{18} = 18/99 = 2/11
- 0,8 = 4/5
- 1,3 = 13/10
Espressione → 5/18 + 13/10 × (4/5 – 2/11)
Calcola dentro parentesi:
4/5 – 2/11 = mcm(5,11)=55 → 44/55 – 10/55 = 34/55
Poi: 13/10 × 34/55 = (13 × 34) / (10 × 55) = 442 / 550 = 221 / 275
Ora somma: 5/18 + 221/275
mcm(18,275): 18=2×3², 275=5²×11 → mcm=2×3²×5²×11=4950
- 5/18 = 5×275 / 18×275 = 1375/4950
- 221/275 = 221×18 / 275×18 = 3978/4950
Totale: (1375 + 3978)/4950 = 5353/4950 ≈ 1,081 (ma puoi lasciare 5353/4950 semplificata se possibile)
Esempio 3 – Da provare tu (soluzione sotto)
(0,\overline{6} + 0,25) × 1,\overline{45} – 0,9
Soluzione guidata breve:
- 0,\overline{6} = 2/3
- 0,25 = 1/4
- 1,\overline{45} = 145/99
- 0,9 = 9/10
→ (2/3 + 1/4) × 145/99 – 9/10 → (8/12 + 3/12) = 11/12 → 11/12 × 145/99 = 1595 / 1188 → semplifica → 1595÷… (prosegui tu o chiedimi!)
Trucco finale per verifiche veloci
Se l’espressione è molto complicata e hai poco tempo → approssima i periodici con 4-5 cifre decimali e fai il calcolo con la calcolatrice solo per controllare il risultato finale (ma non per consegnare!).
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