teorema di Pitagora

teorema di Pitagora

un notevolissimo  caso di equivalenza che torva larga applicazione in tutti i rami della matematica è quello che prende il nome di teorema di Pitagora

disegnate su un cartoncino  un qualsiasi triangolo rettangolo  ABC   costruite tre quadrati sull'ipotenusa e sui cateti

da questo si deduce che

 

in ogni  triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti

 

poiché poligoni equivalenti hanno la stessa area il teorema di Pitagora si può enunciare così

 

in ogni triangolo rettangolo  l'area del quadrato costruito  sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti

 

si può affermare che

 

la misura di un cateto di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato dell'ipotenusa  ed il quadrato della misura dell'altro cateto

 



espressioni algebriche

le espressioni - algebriche

estendendo una  locuzione introdotta nell'aritmetica  si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni 

sono per esempio  espressioni algebriche :
 3 ab^2
7a - b^2

4a+ 2ab^2
_________
a+ b

una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione  le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che  le quattro  operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi  o frazionari si ottengono sempre numeri razionale

una espressione si dice intera  se fra i segni  di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria

attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato

quando  alle lettere di un'espressione algebrica  si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono   tutte le operazione indicate si ottiene come risultato  un numero relativo  che si dice valore numerico  dell'espressione algebrica per i dati  valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato

così ad esempio  se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0

-3a +2b^2- 5c

se a =-2
se b= + 1
             3
se c= 3
         4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
                       3              4                  4      36
           

le espressioni

le espressioni - algebriche

estendendo una  locuzione introdotta nell'aritmetica  si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni 

sono per esempio  espressioni algebriche :
 3 ab^2
7a - b^2

4a+ 2ab^2
_________
a+ b

una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione  le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che  le quattro  operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi  o frazionari si ottengono sempre numeri razionale

una espressione si dice intera  se fra i segni  di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria

attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato

quando  alle lettere di un'espressione algebrica  si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono   tutte le operazione indicate si ottiene come risultato  un numero relativo  che si dice valore numerico  dell'espressione algebrica per i dati  valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato

così ad esempio  se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0

-3a +2b^2- 5c

se a =-2
se b= + 1
             3
se c= 3
         4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
                       3              4                  4      36
           

numeri relativi : proprietà dell'addizione

numeri relativi : proprietà dell'addizione

l'addizione  di più numeri relativi gode della proprietà commutativa e associativa dell'addizione aritmetica

proprietà commutativa - la somma di più numeri  relativi non cambia  comunque si muti l'ordine  degli addendi

55-7-12+8+ 16 = -12+5+8-7+16

proprietà associativa  - la somma di più numeri relativi non cambia se ad alcuni di essi si sostituisce la loro somma effettuata

-3+12-7+4-6

invece di operare secondo la definizione  possiamo ad esempio  sostituire gli addendi  +12 -17  e + 4  con la loro somma effettuata perciò ricordando l'uso delle parentesi  si può scrivere

-3+12-17+4 -6 = -3+(12-17+4)-6

la proprietà associativa  può essere espressa  mediante la seguente regola pratica

in una somma di più numeri relativi  si può racchiudere tra parentesi preceduta dal segno +  un numero qualunque di addendi  scrivendo questi numeri con gli stessi segni che hanno nella somma data

OSSERVAZIONE
i numeri che sostituiscono la somma effettuata no devono necessariamente occupare posizioni consecutive  perché mediante la proprietà commutativa si possono sempre ordinare in posizioni  consecutive prima di sostituirli con la somma effettuata

proprietà dissociativa - la somma di più numeri relativi non cambia se ad uno di essi si sostituiscono  più numeri relativi  la cui somma sia eguale al numero soppresso

-7+ (8-5+2) = -7+8-5+2

si può anche dire che per aggiungere a un numero una somma si può aggiungere a quel numero  ciascun addendo alla somma

da qui si deduce una regola pratica

quando davanti ad una parentesi  che racchiude una somma vi è il segno +  si può togliere la partentesi sopprimendo il segno +  che a precede e lasciando  inalterato i segni dei suoi addendi 

usando la proprietà commutativa si possono  sommare tra loro  separatamente i numeri positivi e quelli negativi e poi si sommano i due numeri relativi ottenuti

numeri relativi : addizione

l'addizione con i numeri relativi si indica ponendo il segno + fra i numeri relativi chiusi entro una parentesi con il proprio segno

esempio

(+7)+(-15)+(+10)+(-4)

la somma di due numeri relativi è definita dalle definizioni

I   la somma di due numeri relativi dello stesso segno  è il numero relativo che ha lo setto segno degli addendi e per valore assoluto la somma di loro valori assoluti

esempi

(+7)+(+15) = +22

(-8)+ (-6) = -14

questa regola è evidente se pensiamo a numeri positivi come crediti e i numeri relativi come debiti

II   la somma di due numeri relativi di segno contrario  è il numero relativo che ha il segno  dell'addendo  in valore assoluto maggiore  e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei numeri dati

esempi

(+10) + (-7) = +3
(+15 ) +(-20) = - 5

II  la somma di due numeri opposti è 0

esempi

(+7) + (-7) = 0
(-10) + (+10) = 0

IV la somma di un numero relativo  e di zero è uguale al primo numero

esempio
(+3)+ 0 = +3

V   la somma di più numeri relativi in un dato ordine è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al primo  il secondo alla somma ottenuta il terzo  e così via

esempio

(+3) + (-10) + (-6) + (+15) + (-7) =
(-7) + (-6) + (+15)+(-7)=
(-13) + (+15) +(-7) =
(+2 )+ (-7) = -5

se uno o più numeri sono frazioni  si riducono i valori assoluti al minimo comune denominatore  e si sommano  i numeri frazionari applicando  le regole precedenti

numeri relativi - addizione

confronto di numeri relativi

Due numeri relativi sono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto 

sono uguali per esempio

+5   e   +(3+2)

vediamo ora come si possono confrontare  due numeri relativi  cioè riconoscere  dati due numeri relativi se l'uno  è maggiore o minore dell'altro.
Si giunge  a ciò facilmente  interpretando  i numeri positivi come crediti e numeri  negativi come debiti.
Se un tale ha un credito di 5 euro  possiede di più di chi non ha nulla  ed un tizio che non ha nulla si trova in condizioni  migliore di chi ha un debito di 10 euro

5>0    e    0>di -10

Più generalmente

Ogni numero positivo è maggiore di zero e ogni numero negativo è minore di 0

Se poi un tale ha un credito di 15 euro  possiede di più di chi ne ha uno di 10 euro  mentre un tale che ha un debito di 20 euro  si trova in condizioni migliori di  chi ha un debito di 50 ero quindi

+15 > +10               -20 > -50

più generalmente

di due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore e di due numeri negativi ha valore maggiore quello che ha il valore assoluto minore

Risulta evidente che chi ha un credito di 30 ha di più di chi a un debito di venti

+ 30 > - 20 

più generalmente  ogni numero positivo è maggiore di un numero negativo

DATI DUE NUMERI  RELATIVI QUALUNQUE  IL MAGGIORE DI ESSI E' QUELLO CHE SULLA RETTA  HA PER IMMAGINE UN PUNTO  SITUATO PIU' A DESTRA DELL'IMMAGINE DELL'ALTRO

rappresentazione dei numeri relativi

data una retta ed un punto 0 detto origine  osservate  che un punto può percorrere  tale retta in due versi  opposti chiameremo  verso positivo  cioè quello che va da sinistra a destra e verso negativo l'opposto
una retta r su cui si a fissato  il verso positivo si chiama retta orientata dove u è l'unità di misura
se poi si vuole rappresentare un numero  frazionario positivo 3/4 basta dividere l'unità in 4 e  considerare 3 parti i punti segnati su una retta si chiamano immagini dei numeri relativi

 

numeri relativi - valore assoluto

Il valore assoluto  o il modulo di numero relativo  è il numero assoluto che si ottiene da esso sopprimendone il segno
cosi i valori assoluti di

+5     -3      + 1,5

sono 5   3     1,5

due numeri relativi aventi lo stesso segno si dicono concordi

- 3  -5


 si dicono discordi se hanno segno diverso

-3    +5

se poi hanno lo stesso valore assoluto ma segni diversi si dicono opposti

-3      +3

si conviene che l'unico numero  uguale al suo opposto sia lo zero

-0 = +0 = 0

numeri relativi

E' a noi noto il significato di misura di una grandezza se ad esempio vi dico che un blocco di marmo pesa kg 7 o che un recipiente alla capacità di 3 litri  i numeri 3 re 7 sono le misure delle due grandezze  considerate la prima rispetto al kg  e la seconda rispetto al litro

può esservi invece incertezza se dico che un certo giorno  la temperatura  è stata di 2 gradi centigradi  perché la temperatura può essere al di sopra o al disotto dello 0 che è la temperatura  del ghiaccio fondente; così se vi dico che il celebre matematico Archimede è nato  ne 287 rimanete indecisi se prima o dopo Cristo

Vi sono delle grandezze che possono variare in due versi  opposti sorge quindi la necessità  di  esprimere la misura di queste grandezze in modo da evitare incertezze
a tale scopo  si è convenuto di far precedere il numero che esprime  la misura di una di tali grandezze dal segno + o dal segno -

Si conviene ad esempio con +2 una temperatura al di sopra dello zero e - 2 una temperatura al disotto dello 0
Similmente per indicare che si ha un credito  di 100 euro  scriveremo + 100 euro  per indicare un debito di 500 euro scriveremo - 500 euro
se conveniamo  di indicare con 0 i punti  che si trovano sul livello del mare la misura del vertice del monte Bianco si indicherà con + 4800 metri mentre la misura del punto più profondo del Mediterraneo si indicherà con -4400 metri
si è così introdotto un nuovo insieme di numeri  come

+2 -100  +4800

questi numeri che sono preceduti dal segno + o - sono numeri relativi chiameremo assoluti i numeri  interi e frazionari senza segno

I numeri relativi  preceduti dal segno + si dicono numeri positivi così sono positivi

+54   + 1,5

sono negativi i segni preceduti dal segno -

-4  -5,6

le potenze

- si dice potenza di un numero un prodotto di più fattori  tutti uguali  a quel numero 
Il fattore che si deve ripetere si dice base  quanti sono i fattori si dice esponente o grado di potenza

L'elevamento a potenza è una legge di composizione interna per l'insieme dei numeri naturali.

proprietà  delle potenze

- il prodotto di più potenze di egual base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

5^2 x 5^4 = 5^6

La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

(3^2)^4 = 3^8

Il quoziente di due potenze della stessa base la seconda con esponente minore di quello della prima  è uguale a una potenza che ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Per elevare alla potenza un prodotto  si può calcolare il prodotto  delle potenze dei singoli fattori

(2^3 X 5)^2 = 2^6 x 5^2

per elevare a potenza un quoziente si può calcolare  il quoziente e quindi la sua potenza oppure  calcolare il quoziente  delle potenze del dividendo e del divisore

(7:5)^3 = 7^3 :5^3

La potenza con esponente 0  di un numero qualunque diverso da 0  è uguale a 1

storia della matematica

le origini dell'algebra

Il termine  "algebra" deriva dall'arabo al-jabr, nome con cui il matematico al-Khuwarismi, che per primo lo usò  indicava i passaggi  da lui ideati per la soluzione di quelle particolari espressioni dette equazioni. In seguito  il significato si allargò  ulteriormente e oggi abbraccia un campo della matematica assai più vasto e vario.
Al-khuwarismi  era un matematico e astronomo arabo  e attivo nella "casa della sapienza"  centro culturale  fondato dal califfo Al-Ma -Mun attorno al 850 a.C..
Questo studioso  che in seguito sarebbe diventato famoso nell'Europa Occidentale scrisse vari libri  di matematica, di geometria  e di astronomia.
La sua aritmetica esponeva il sistema indiano di numerazione. L'opera originale sull'aritmetica  è andata perduta ne è rimasta solo una traduzione latina  del XII secolo  con il titolo algoritmi sul calcolo numerico indiano. In quest'opera espone in maniera così chiara  il nuovo sistema di numerazione  indiano  che si pensa sia stato  questo il motivo per cui in Europa si diffuse l'errata convinzione  che fossero stati gli arabi gli inventori del nostro sistema di numerazione.
L'opera più importante di questo matematico arabo fu però "la scienza della riduzione e del confronto". Questo testo da cui è derivato appunto il termine algebra ci è giunto a noi  in due versioni araba e latina  contiene una trattazione  sulle equazioni lineari  e quadratiche
Le sue opere svolsero un ruolo assai importante nella storia della matematica  furono infatti una delle fonti principali in cui il sistema di numerazione e l'algebra entrarono in Europa Occidentale.

Vediamo ore una equazione  di primo grado a un'incognita

5x+1=3(2x-1)

un'equazione si presenta  in generale come un'uguaglianza  in cui compaiono  una o più incognite.
Essa è la traduzione numerica di un problema  la cui soluzione consiste nel dare valore a x in modo che l'uguaglianza sia vera cioè trovare quel numero che sostituito a x rendono il primo  termine uguale al secondo.
Ricordiamo il principio della riduzione dei termini e il trasporto da un membro all'altro  di un termine con il segno cambiato.
ecco la soluzione

5x+1= 6x-3

aggiungendo -1 e togliendo  6x ad ambo i membri si ha

5x+1-1-6x = 6x-6x-1-3

ed eliminando  i termini opposti  otteniamo

5x-6x = -1-3

quindi  -1x = -4

da cui si ricava   che  x= 4

l'abaco

Un problema costante  per l'uomo  è stato quello a sveltire  i calcoli dapprima fu probabilmente  nell'antica Babilonia che ci si accorse che,  con l'aiuto  di una tavoletta su cui potevano rimanere impressi  dei segni si potevano eseguire in modo più corretto e veloce calcoli altrimenti  troppo complicati e faticosi:
In seguito  ma non si sa con esattezza né dove né come (forse nell'antico Egitto), venne inventato l'abaco  che possiamo considerare la prima macchina calcolatrice costruita dall'uomo.
L'abaco  è stato uno strumento  ingegnoso  che permise di eseguire operazioni sui numeri rappresentandoli con oggetti (es. sassolini, noccioli di frutta  ecc.)  introdotti in bastoncini fissati a un supporto . La radice del termine greco abax, abakos, che significa "tavoletta cospersa di polvere" per tracciarvi  figure  geometriche  e fare calcoli, non è  collegabile con altri figure geometriche e fare calcolo, non  è collegabile con altri vocaboli  della stessa lingua greca antica probabilmente dall'ebraico  abaq, che significa "polvere" e comunque  dai popoli del vicino Oriente.
I matematici  dell'antica Grecia conoscevano le scoperte dei popoli mediterranei  e seppero rielaborarle con apporti originali, ma i loro sforzi non ebbero  un risvolto  pratico.  I progressi da essi compiuti nella matematica non servirono all'organizzazione materiale della società  ma divennero un gioco dell'intelligenza.
E' risaputo a questo proposito , che anche le possibilità offerte dallo sviluppo della scienza e della tecnica non erano orientate a un'applicazione pratica, a un aumento della produttività del lavoro  o alla liberazione dalla fatica del lavoro, ma erano solo espressione della capacità inventiva dell'intelligenza. Lo stesso pregiudizio influenzò anche la matematica.
Dobbiamo perciò ai maggiori algebristi indiani e arabi  molte delle scoperte aritmetiche e algebriche di cui ci serviamo ancor oggi quotidianamente:
Chi introdusse in Italia, e quindi in Occidente, tali scoperte furono i ceti mercantili delle repubbliche marinare. Le  conoscenze matematiche ebbero la loro massima diffusione dopo l'invenzione della carta e della stampae dopo la riforma protestante. Lo stesso  Martin Lutero volle che, accanto alla Bibbia venissero stampati  i primi libri di aritmetica. Gli algebristi  indiani e poi arabi avevano scoperto  i ventagi del sistema numerico posizionale e se ne servirono per semplificare i calcoli con grandi vantaggi  per quelli classi sociali che si servivano dei calcoli per le loro attività mercantili e commerciali. IN particolare furono essi che diffusero l'abaco  nel paesi dell'Occidente.
Ancor oggi questa semplice calcolatrice è usata per fare i conti da russi, cinesi e giapponesi, in bar, negozi, ristoranti  ecc. 
Da noi  i bambini usano un adattamento particolare  dell'abaco, il pallottoliere  come giocattolo  istruttivo per imparare i fondamenti dell'aritmetica divertendosi.
Naturalmente l'abaco  costituito di fani mobili lungo asticelle  non è che un tipo probabilmente inventato dai cinesi: Gli arabi ne inventarono  invece anche di diversa costruzione per esempio uno ancor oggi usato costituito  fondamentalmente  da una specie di griglia.

FIBONACCI

Fra le numerosi questioni  matematiche  e algebriche di cui si occupò Fibonacci  quella delle successioni merita  un particolare cenno.
 Anche perché  su di esse Fibonacci costruì  un interessante problema quello dei conigli
Supponiamo, diceva Fibonacci, diceva di  chiudere in un'apposita gabbia  una coppia di conigli maschio e femmina  in modo che generino altri  conigli supponiamo ancora che i figli raggiungano la maturità sessuale per  generare all'età di due mesi   e che riproducano a loro volta una nuova coppia di conigli maschio e femmina e che anche questi generino  a loro volta  una coppia simile  alla fine di ogni mese successivo.
se nessun coniglio  muore quante coppie di conigli  ci saranno alla fine dell'anno ?

seguiamo la soluzione attraverso un grafico 

Fibonacci diceva che seguendo la coppia iniziale A  del mese di gennaio  in febbraio ci saranno due coppie  A E B  in marzo ci sarà una nuova coppia  C nata dalla A    e le due precedenti
In aprile le cose si complicano  sono trascorsi due mesi  e anche la coppia B comincia a prolificare.
Avremo allora oltre alle tre copie di marzo la D nata dalla A  e la E  nata dalla B.
In maggio  la situazione diventa ancora più complessa  perché anche la C la copia nata in marzo comincia a prolificare 
alle cinque  coppie precedenti  si aggiungono anche la F dalla A  la G nata dalla B e la H nata dalla C
Il ragionamento continua in modo analogo  per il numero di coppie nel mese di giugno  di luglio e così via fino alla fine dell'anno il numero di copie nei mesi considerati Fibonacci lo inscrive in una sequenza

 1,2,3,5,8,13 .....

non è difficile  scorgere tra questi numeri  una legge che ne regola la formazione  dal numero 3 in poi  i successivi  sono dati dalla somma dei due numeri precedenti

1, 2,    3              5                   8            13
      2+1    2+3           3+5             5+8

di questo passo è facile individuare il numero delle coppie  nei mesi successivi a giugno

in luglio              8+13  =21
in agosto            13+21 = 34
in settembre       21+34 = 55

e così via fino a dicembre

alla fine dell'anno ci saranno 233 coppie di conigli 
Evidentemente una volta scoperta la legge di composizione  la successione si può estendere all'infinito
Fibonacci non approfondì  in seguito il problema delle sequenze  di numeri si dovette giungere al XIX secolo perché i matematici  più noti approfondissero  il tema delle successioni  e dele loro proprietà formali.
Uno di qesti un certo Lucas fece studi seri e profondi sulle sequenze (conosciute come serie di Fibonacci)
che iniziano  con due numeri interi qualsiasi  e in cui  la legge di formazione prevede che ogni numero successivo sia la somma dei due precedenti
Le sere di Fibonacci hanno colpito  la fantasia dei matematici  e di appassionati che hanno cercato di scoprirvi proprietà e teoremi nascosti 
recentemente le serie di Fibonacci  hanno rivelato la loro utilità nei moderni metodi di programmazione elettronica soprattutto nella selezione dei dati  nel recupero delle informazioni  e nella generazione di numeri casuali