molteplicità delle rette
3° POSTULATO
Dato un punto P esistono rette che non lo contengono
1° COROLLARIO
esistono infinite terne di punti non allineati. Infatti siano P un punto ed r una retta non passante per esso. Presi sulla r distinti punti A e B si ottiene la terna P,A,B di punti che non sono allineati perché per A e B passa solo la retta r e P non appartiene ad essa.
2° COROLLARIO
Per ogni punto P passano infinite rette.
Basta considerare una retta r non passante per P. Congiungendo P con gli infiniti punti r si ottengono infinite rette passanti per P
3° COROLLARIO
Esistono infiniti punti non appartenenti alla retta r.
Infatti se A è un punto di r ed s è una retta contenente A tutti gli infiniti punti di s uno al più escluso risultano esterni alla r.
Un Punto A appartenente ad una retta r si dice interno ad essa un punto P non appartenente alla retta r si dice esterno ad r.
martedì 12 settembre 2017
mercoledì 6 settembre 2017
geometria - le rette come insieme ordinato
geometria - le rette come insieme ordinato
Un insieme si dice ordinato quando è stato introdotto da un criterio di precedenza in virtù del quale presi due suoi qualunque elementi a e b si può stabilire se a precede b oppure se b precede a.
Ad esempio possiamo ordinare l'insieme dei numeri naturali convenendo che di due di tali numeri il minore precede il maggiore.
Per l'insieme degli alunni della classe possiamo fissare un ordine utilizzando l'elenco alfabetico dei loro nomi.
Si noti che ad ogni ordinamento attribuito agli elementi di un insieme corrisponde sempre un ordinamento in senso opposto. Così nei due esempi citati si possono ordinare i numeri naturali dal maggiore al minore o elencare i nomi degli alunni della classe dalla lettera Z alla lettera A.
L'ordinamento dato ad un insieme gode della proprietà transitiva nel senso che se un elemento a precede un elemento b e b precede l'elemento c allora a precede anche l'elemento c.
2° POSTULATO
Ogni retta r è un insieme ordinato di punti. L'ordinamento è tale che :
presi su r due punti distinti A e B esiste sempre un punto di r compreso tra A e B; preso su r un punto C esistono sempre due punti A e B di r fra i quali esso è compreso.
1° COROLLARIO. Fra due punti A e B di r sono compresi infiniti punti appartenenti ad r. Infatti tra A e B deve essere compreso un punto C di r; così fra A e C deve essere compreso un punto D di r; fra A e D un altro fra a e quest'ultimo punto deve essere compreso un altro punto e così all'infinito.
Gli insiemi ordinati per i quali fra due elementi qualunque è sempre compreso un altro elemento si dicono insiemi densi. La retta è un insieme ordinato e denso.
2° COROLLARIO. ogni punto C di una retta r è preceduto e seguito da infiniti punti di r.
Il ragionamento è simile al precedente. Come il punto C deve essere preceduto dal punto A e seguito dal punto B di r così A deve essere preceduto da un punto A1 e B seguito da B1 di r; a loro volta A1 e B1 devono essere rispettivamente preceduto da A2 B2 appartenenti a r e così via all'infinito.
Ogni insieme ordinato per il quale un suo qualunque elemento è preceduto e seguito da un altro elemento si dive insieme privo di primo e ultimo elemento. Pertanto abbiamo che anche la retta è un insieme primo di primo e ultimo elemento.
Dai due primi corollari segue che :
3° COROLLARIO. Ogni retta è un insieme infinito di punti.
Un insieme si dice ordinato quando è stato introdotto da un criterio di precedenza in virtù del quale presi due suoi qualunque elementi a e b si può stabilire se a precede b oppure se b precede a.
Ad esempio possiamo ordinare l'insieme dei numeri naturali convenendo che di due di tali numeri il minore precede il maggiore.
Per l'insieme degli alunni della classe possiamo fissare un ordine utilizzando l'elenco alfabetico dei loro nomi.
Si noti che ad ogni ordinamento attribuito agli elementi di un insieme corrisponde sempre un ordinamento in senso opposto. Così nei due esempi citati si possono ordinare i numeri naturali dal maggiore al minore o elencare i nomi degli alunni della classe dalla lettera Z alla lettera A.
L'ordinamento dato ad un insieme gode della proprietà transitiva nel senso che se un elemento a precede un elemento b e b precede l'elemento c allora a precede anche l'elemento c.
2° POSTULATO
Ogni retta r è un insieme ordinato di punti. L'ordinamento è tale che :
presi su r due punti distinti A e B esiste sempre un punto di r compreso tra A e B; preso su r un punto C esistono sempre due punti A e B di r fra i quali esso è compreso.
1° COROLLARIO. Fra due punti A e B di r sono compresi infiniti punti appartenenti ad r. Infatti tra A e B deve essere compreso un punto C di r; così fra A e C deve essere compreso un punto D di r; fra A e D un altro fra a e quest'ultimo punto deve essere compreso un altro punto e così all'infinito.
Gli insiemi ordinati per i quali fra due elementi qualunque è sempre compreso un altro elemento si dicono insiemi densi. La retta è un insieme ordinato e denso.
2° COROLLARIO. ogni punto C di una retta r è preceduto e seguito da infiniti punti di r.
Il ragionamento è simile al precedente. Come il punto C deve essere preceduto dal punto A e seguito dal punto B di r così A deve essere preceduto da un punto A1 e B seguito da B1 di r; a loro volta A1 e B1 devono essere rispettivamente preceduto da A2 B2 appartenenti a r e così via all'infinito.
Ogni insieme ordinato per il quale un suo qualunque elemento è preceduto e seguito da un altro elemento si dive insieme privo di primo e ultimo elemento. Pertanto abbiamo che anche la retta è un insieme primo di primo e ultimo elemento.
Dai due primi corollari segue che :
3° COROLLARIO. Ogni retta è un insieme infinito di punti.
lunedì 10 luglio 2017
geometria - le rette
geometria - le rette
Fra i sottoinsiemi del piano (cioè le figure piane) vi sono insiemi di punti di tipo particolare che chiameremo rette.
Assumiamo come primitivo il concetto di retta. Le proprietà che caratterizzano le rette sono fissate nei postulati che seguono.
Prima di enunciare tali postulati precisiamo che mentre i punto si indicano con le lettere maiuscole (A B C ....) le rette si indicano generalmente con le lettere minuscole (a b c .....)
La retta individuata dai due punti A e B viene anche detta contingente i punti A e B o retta AB.
Il precedente postulato si suole enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una sola retta
Dal precedente postulato consegue il
Due rette aventi un punto P in comune si dicono incidenti. Il punto P si chiama punto di incidenza o di intersezione o di incontro delle due rette.
Dati più punti se accede che appartengono tutti alla stessa retta allora i punti si dicono allineati. Il precedente postulato ci garantisce che i punto sono sempre allineati
Fra i sottoinsiemi del piano (cioè le figure piane) vi sono insiemi di punti di tipo particolare che chiameremo rette.
Assumiamo come primitivo il concetto di retta. Le proprietà che caratterizzano le rette sono fissate nei postulati che seguono.
Prima di enunciare tali postulati precisiamo che mentre i punto si indicano con le lettere maiuscole (A B C ....) le rette si indicano generalmente con le lettere minuscole (a b c .....)
1° postulato
Dati due punti A e B esiste una e una sola retta che li contiene entrambiLa retta individuata dai due punti A e B viene anche detta contingente i punti A e B o retta AB.
Il precedente postulato si suole enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una sola retta
Dal precedente postulato consegue il
corollario
Due rette distinte non possono avere più di un punto in comune (altrimenti coinciderebbero)Due rette aventi un punto P in comune si dicono incidenti. Il punto P si chiama punto di incidenza o di intersezione o di incontro delle due rette.
Dati più punti se accede che appartengono tutti alla stessa retta allora i punti si dicono allineati. Il precedente postulato ci garantisce che i punto sono sempre allineati
martedì 20 giugno 2017
geometria le figure uguali - il movimento
Le figure uguali - il movimento
I ragionamento di figure uguali è complesso se lo si vuole trattare da un punto di vista razionale.
Nel momento in cui si parla di movimento dei corpi bisogna precisare la differenza tra i corpi rigidi e quelli deformabili. Si tratta di movimenti effettuati con corpi rigidi nel piano e nello spazio (movimenti rigidi). Anche le figure geometriche vanno pensati come corpi rigidi che possono essere assoggettate a movimenti che le trasferiscono da una zona ad un'altra del piano e dello spazio.
L'idea di movimento (rigido) di una figura geometria viene introdotta come concetto primitivo.
Diremo uguali due figure quando con un movimento è possibile portare una di esse a coincidere punto per punto con l'altra
Ciò significa che a movimento compiuto ogni punto A della prima figura F si identifica con un punto A' della seconda figura F' e che ogni punto B' della F' coincide con un punto B della F. I punti A;B....... della figura F si dicono corrispondenti od omologhi rispettivamente dei punti A';B' della figura F'.
POSTULATO. l'uguaglianza delle figure gode delle tre seguenti proprietà :
Ogni figura è uguale a se stessa (proprietà riflessiva dell'uguaglianza);
Se una prima figura è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale alla prima (proprietà simmetrica dell'uguaglianza);
Se una prima figura è uguale ad una seconda e questa è uguale ad una terza allora la prima è uguale alla terza (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
Nella geometria piana i possibili movimenti dovrebbero essere soltanto quelli che consentono di spostare una figura facendola strisciare sul piano cui essa appartiene cioè quelli che fanno muovere il piano su se stesso.
Tuttavia introduce un'eccezione il ribaltamento del piano cioè quel movimento che si adopera ogni volta che si volta la pagina di un libro.
I ragionamento di figure uguali è complesso se lo si vuole trattare da un punto di vista razionale.
Nel momento in cui si parla di movimento dei corpi bisogna precisare la differenza tra i corpi rigidi e quelli deformabili. Si tratta di movimenti effettuati con corpi rigidi nel piano e nello spazio (movimenti rigidi). Anche le figure geometriche vanno pensati come corpi rigidi che possono essere assoggettate a movimenti che le trasferiscono da una zona ad un'altra del piano e dello spazio.
L'idea di movimento (rigido) di una figura geometria viene introdotta come concetto primitivo.
Diremo uguali due figure quando con un movimento è possibile portare una di esse a coincidere punto per punto con l'altra
Ciò significa che a movimento compiuto ogni punto A della prima figura F si identifica con un punto A' della seconda figura F' e che ogni punto B' della F' coincide con un punto B della F. I punti A;B....... della figura F si dicono corrispondenti od omologhi rispettivamente dei punti A';B' della figura F'.
POSTULATO. l'uguaglianza delle figure gode delle tre seguenti proprietà :
Ogni figura è uguale a se stessa (proprietà riflessiva dell'uguaglianza);
Se una prima figura è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale alla prima (proprietà simmetrica dell'uguaglianza);
Se una prima figura è uguale ad una seconda e questa è uguale ad una terza allora la prima è uguale alla terza (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
Nella geometria piana i possibili movimenti dovrebbero essere soltanto quelli che consentono di spostare una figura facendola strisciare sul piano cui essa appartiene cioè quelli che fanno muovere il piano su se stesso.
Tuttavia introduce un'eccezione il ribaltamento del piano cioè quel movimento che si adopera ogni volta che si volta la pagina di un libro.
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