geometria - le rette come insieme ordinato

geometria - le rette come insieme ordinato

Un insieme si dice ordinato quando è stato introdotto da un criterio  di precedenza in virtù del quale  presi due suoi qualunque elementi   a e b  si può stabilire se a precede b oppure se b precede a.
Ad esempio  possiamo ordinare  l'insieme dei numeri naturali convenendo che di due di tali numeri il minore precede il maggiore.
Per l'insieme degli alunni della classe possiamo fissare un ordine utilizzando  l'elenco alfabetico dei loro nomi.
Si noti che ad ogni ordinamento  attribuito  agli elementi di un insieme  corrisponde sempre un ordinamento in senso opposto. Così  nei due esempi citati  si possono ordinare i numeri naturali dal maggiore al minore o elencare i nomi degli alunni della classe dalla lettera Z alla lettera A.

L'ordinamento dato ad un insieme gode della proprietà transitiva nel senso che se un elemento a precede un elemento b  e b precede l'elemento c allora a precede anche l'elemento c.

2° POSTULATO

Ogni retta r è un insieme ordinato di punti. L'ordinamento è tale che :

presi su r due punti distinti  A e B esiste sempre un punto di r compreso tra A e B; preso su r un punto C esistono sempre due punti A e B  di r  fra i quali esso è compreso.

1° COROLLARIO. Fra due punti  A e B di r sono compresi infiniti punti appartenenti ad r. Infatti tra A e B  deve essere compreso un  punto C di r; così  fra A e C deve essere compreso un punto D di r; fra A  e D un altro  fra a e quest'ultimo  punto deve essere compreso un altro punto e così all'infinito.

Gli insiemi  ordinati per i quali  fra due elementi qualunque è sempre compreso un altro elemento si dicono insiemi densi. La retta è un insieme ordinato e denso.

2° COROLLARIO. ogni punto C di una retta r è preceduto e seguito da infiniti punti di r.
Il ragionamento è simile al precedente. Come il punto C deve essere preceduto dal punto A e seguito dal punto B  di r così A deve essere preceduto da un punto A1 e B seguito da B1 di r; a loro volta A1 e B1 devono essere rispettivamente preceduto da A2 B2 appartenenti a r e così via all'infinito.

Ogni insieme ordinato  per il quale un suo qualunque elemento  è preceduto e  seguito da un altro elemento  si dive insieme privo di primo  e ultimo elemento. Pertanto  abbiamo che anche la retta è un insieme primo di primo e ultimo elemento.

Dai due primi corollari  segue che :

3° COROLLARIO. Ogni retta è un insieme infinito di punti.