le semirette

le semirette

Sia r una retta orientata cioè una retta sulla quale è stato fissato un verso di percorrenza. Preso su r un punto O veniamo a individuare due sottoinsiemi  della retta : quello  s' cui appartengono  O ed i punti che lo seguono  e l'alto s" formato da O  e dai punti che lo precedono. Ciascuno di tali insiemi  viene detto semiretta di origine O.
Le semirette s' ed s" si dicono opposte e l'una è il proseguimento dell'altra.
E' chiaro  che l'unione delle due semirette opposte s' ed s'' è la retta r mentre la loro intersezione è la figura composta dalla sola origine O.
Una semiretta  s' resta individuata quando se ne conosca l'origine O  ed il suo punto P. Per questo  essa viene detta semiretta OP.

Anche la semiretta è un insieme ordinato (perché è fissato  fra i suoi punti un criterio di precedente) e denso (perché tra i suo punti ne sono compresi infiniti altri). Essa però non è un insieme privo di primo e ultimo elemento dato che la sua origine precede (o segue)  tutti gli altri suoi punti.

Dal 4° postulato  segue con facili considerazioni che per semplicità  non riportiamo che tutte le semirette sono uguali.

rette parallele

rette parallele

5° postulato  detto postulato di Euclide

Data una retta r ed un punto P esterno ad essa esiste una e una sola retta passante per P e non avente un punto in comune con la r.

Il precedente postulato ci consente di dare la seguente definizione

due rette del piano si dicono parallele se coincidono oppure se non hanno nessun punto in comune.
In molte trattazione non si considerano parallele anche le rette coincidenti. La definizione più ampia riportata è suggerita dalle vedute più recenti degli studiosi di geometria.

Dal postulato di Euclide e dalla successiva definizione discende il seguente corollario

COROLLARIO

Data una retta r ed un punto P del piano (appartenente oppure no alla r)  per P si può condurre una ed una sola retta s parallela alla r.

Parlando  della parallela condotta per un punto ad una retta si dovrà dire - stante l'unicità - la parallela e non una parallela.
Si osservi che nel piano le possibili posizioni reciproche di due rette sono soltanto due :

rette incidenti (cioè aventi un solo punto in comune)
rette parallele (cioè aventi tutti i punti in comune o nessuno).

A questo punto fra i postulati ed i corollari che da essi discendono conosciamo molte proprietà delle rette. Anche se  non ci è nota la loro intrinseca natura siamo in grado di ragionare su di esse; per cui possiamo passare alla definizione di altri enti geometrici  che con le rette hanno uno stretto rapporto.

Le immagini di un granello di sabbia, di un filo steso, della superficie di un tavolo, adoperate in geometria intuitiva per introdurre i concetti di punto, retta e piano dovrebbero apparirci ormai come rappresentazioni  piuttosto grossolani. Nulla ci vieta  di ricorrere ancora ad esser per aiutare il nostro sforzo di immaginazione, ma solo al patto di considerarli modelli del tutto occasionali.

geometria - uguaglianza delle rette

geometria - uguaglianza delle rette

Sappiamo che data una retta AB = r esistono  su r due possibili ordinamenti dei suoi punti : quello  per il quale A precede B e l'altro per il quale B precede A. Allorché  si fissa uno di tali ordinamenti ( ad esempio il primo)  si viene automaticamente a fissare su r un vero di percorrenza (quello da A verso B)  od a una orientazione della retta.
La retta si dice allora orientata. Il verso prescelto viene detto  verso positivo; l'altro verso negativo.

4° postulato. Date due rette orientate a e b e due loro punti A (appartenente ad a ) e B (appartenente a b)  esistono due movimenti  rigidi che portano a a coincidere con b con A su B : l'uno fa coincidere le due orientazioni e l'altro le dispone in senso opposto.

COROLLARIO. Tutte le rette sono uguali
Infatti date due rette è possibile con un movimento  portarle a coincidere.

molteplicità delle rette

molteplicità delle rette

3° POSTULATO

Dato un punto  P esistono rette che non lo contengono

1° COROLLARIO

esistono infinite terne di punti non allineati. Infatti siano P un punto ed r una  retta non passante per esso. Presi sulla r distinti punti A e B  si ottiene la terna P,A,B di punti  che non sono allineati perché per A e B  passa solo la retta r e P non appartiene ad essa.


2° COROLLARIO

 Per ogni punto P passano infinite rette.
Basta considerare una retta r non passante per P. Congiungendo P con gli infiniti punti  r si ottengono infinite rette passanti per P

3° COROLLARIO

Esistono  infiniti punti non appartenenti alla retta r.
Infatti se A è un punto di r ed s è una retta contenente A tutti gli infiniti punti di s uno al più escluso  risultano  esterni alla r.

Un Punto A appartenente ad una retta r  si dice interno ad essa un punto P non appartenente alla retta r si dice esterno ad r.