Ecco alcuni esercizi svolti con dimostrazioni sugli assiomi delle rette e semirette in geometria.
Esercizio 1: Esistenza e unicità della retta passante per due punti
📌 Enunciato: Dimostrare che per due punti distinti passa una e una sola retta.
✍ Dimostrazione:
- Consideriamo due punti distinti e .
- Per l'assioma di appartenenza, esiste almeno una retta che contiene entrambi i punti e .
- Supponiamo per assurdo che esistano due rette diverse e passanti per e .
- Per l'assioma di unicità, due rette distinte non possono avere più di un punto in comune.
- Ma e appartengono a entrambe, quindi .
✔ Conclusione: La retta che passa per due punti distinti è unica.
Esercizio 2: Proprietà di una semiretta
📌 Enunciato: Dati tre punti allineati , , , con tra e , dimostrare che esiste una semiretta con origine in che contiene e .
✍ Dimostrazione:
- Per definizione, una semiretta è l’insieme dei punti di una retta che stanno da una stessa parte rispetto a un punto detto origine.
- Poiché , , sono allineati, esiste una retta che li contiene tutti.
- Consideriamo la semiretta con origine in che passa per .
- Poiché è dopo sulla stessa retta, esso appartiene alla stessa semiretta.
✔ Conclusione: Esiste una semiretta con origine in che passa per e .
Esercizio 3: Due rette incidenti hanno un solo punto in comune
📌 Enunciato: Dimostrare che se due rette si intersecano, lo fanno in un unico punto.
✍ Dimostrazione:
- Siano e due rette nel piano che si intersecano.
- Per definizione di rette incidenti, esiste almeno un punto appartenente a entrambe.
- Supponiamo per assurdo che e abbiano due punti distinti e in comune.
- Per l'assioma di unicità della retta per due punti, esiste una sola retta passante per e .
- Quindi e dovrebbero coincidere, contraddicendo l’ipotesi che siano rette distinte.
✔ Conclusione: Due rette incidenti si intersecano in un solo punto.
