matematica - sistemi di equazioni di primo grado

  matematica - sistemi di equazioni di primo grado 

Considerando un'equazione con due incognite come per esempio 

5x - 3y = 9

Se ad una delle incognite, mettiamo alla y, si attribuisce un valore arbitrario, si ottiene un equazione di primo grado nella sola incognita x; risolvendola otteniamo un valore per la x, che assieme al valore assegnato alla y costituisce una soluzione della data equazione.

Quando si danno alla y, successivamente valori diversi, si ottengono per la x altrettanti valori determinati e siccome ciascun valore della y e il corrispondente valore della x costituiscono una soluzione dell'equazione, possiamo affermare che l'equazione stessa ha infinite soluzioni, ed è perciò indeterminata,

Quello che abbiamo detto per la speciale equazione esaminata, lo si può ripetere in ogni caso, cioè 

Una equazione a più incognite ammette, in generale, infinite soluzioni.

Consideriamo ora due equazioni nelle stesse incognite, come per esempio 

5x-2y= 4                  e                         3x+4y = 18

Il problema che ci si pone è quello di riconoscere se fra le infinite soluzioni della prima equazione e le infinite soluzioni della seconda vi è una soluzione comune, cioè se vi è una coppia di valore per x e per y che verifica contemporaneamente le due equazioni. Nel nostro caso questa coppia esiste effettivamente perché è facile constatare che per x=2 e y = 3 ambedue le equazioni sono verificate. 

La questione prospettata può essere posta in generale e cioè 

Date più equazioni nelle stesse incognite, ricercare le eventuali soluzioni comuni ossia ogni sistema di valori delle incognite che trasformano le equazioni in identità 

L'insieme di più equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente si chiama sistema di equazioni  e le equazioni stesse si dicono simultanee.

Ogni equazione comune a tutte le equazioni di un sistema, si dice soluzione del sistema.

Risolvere un sistema di equazioni significa trovarne le eventuali soluzioni. Può darsi che un sistema non ammetta nessuna soluzione  e allora si dice impossibile; se invece ammette delle soluzioni si dice possibile. Un sistema possibile si dice determinato se il numero delle soluzioni  è limitato; si dice indeterminato se il numero delle soluzioni  è infinito.

Due sistemi con le stesse incognite si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni dell'uno sono soluzioni anche dell'altro.

Due sistemi equivalenti ad un terzo sono equivalenti fra loro.

Per risolvere un sistema si cerca di trasformarlo in un altro equivalente del quale si sappia  trovare con facilità le soluzioni e a questo scopo si applicano determinati criteri.

Se alle equazioni di un sistema si sostituiscono equazioni rispettivamente equivalenti si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Le equazioni del sistema, quando faccia comodo, possono essere trasformate in modo che i secondi membri si riducano a zero.

Ogni sistema di equazioni può essere trasformato in un altro equivalente nel quale le equazioni siano tutte intere.

In questo caso si ricordi che nel liberare le equazioni dai denominatori si possono eventualmente introdurre delle soluzioni estranee, che dovranno essere scartate dopo un conveniente esame.

misure delle grandezze - numeri reali

 misure delle grandezze - numeri reali 

GRANDEZZE COMMENSURABILI ED INCOMMENSURABILI 

 DEFINIZIONE. Un insieme di enti costituisce una classe di grandezze, se per tali enti è possibile definire le relazioni di uguaglianza e disuguaglianza e le operazioni di addizione e di sottrazione, in modo che queste relazioni e queste operazioni godano delle solite  proprietà formali  

Sono grandezze geometriche : i segmenti, gli angoli, le superfici dei poligoni ecc.

Si dicono grandezze omogenee quelle appartenenti alla stessa classe.

PROPRIETA' DELLE GRANDEZZE

a) date due grandezze omogenee A e B esiste una ed una sola delle tre relazioni  :

A = B     oppure         A > B     oppure  A < B

 e ciascun caso  esclude gli altri due;

b) l'uguaglianza gode delle proprietà riflessiva  simmetrica e tansitiva 

A=A     se A=B   è anche   B = A  

se A = C e C = B  è anche  A=B

c) per la disuguaglianza vale la sola proprietà transitiva 

se A>B e B>C  allora  A>C

d) l'addizione  gode delle proprietà commutativa associativa e dissociativa 

A+B = B+A    (A+B)+ C = A+ (B+C)

e) somme e differenze di grandezze uguali sono uguali 

se A= A'    e B = B'  è anche A+B = A'+B' 

e se è A >A' e B> B'  con A= B e A' = B' allora  A - A' = B- B';

f) se A>B  e A' > B'  allora  A+B  > A'+B' 

e se  A>A'  e B>B'  con A>B e B<B'  allora A-A' >B-B'

Vogliamo confrontare le due grandezze A e B i casi possibili sono tre :

1° caso 

La grandezza A contiene m volte esattamente B 

IN tale caso la grandezza A è uguale alla somma di m grandezze tutte uguali a B cioè 

A= B'+ B"......+ B m volte = m x B

La grandezza A sara dunque multipla di B secondo il numero m e il simbolo  B= 1/m x A

significa che  la grandezza  B è sottomultipla o parte aliquota di A secondo m

L'intuizione  ci conduce ad ammettere i seguenti postulati  :

a) postulato della divisibilità. Data una qualsiasi grandezza A, esiste  ed è unica la sua n-esima parte, cioè 1/n x A

b) Postulato  di Eudosso-Archimede . Date due qualsiasi grandezze omogenee disuguali A e B esiste sempre un multiplo  della minore che supera la maggiore 

Così se A >B esisterà certamente un multiplo mB della minore B che superi A  tale cioè che mB>A

2° caso  La grandezza A contiene soltanto m volte esattamente un ennesimo della grandezza B.

In tale caso la grandezza A è uguale alla somma di m grandezze tutte uguali  ad una della tante parti in cui è stata suddivisa la grandezza B secondo il numero n cioè uguale ad m grandezze uguali a B/n.

e si dice che la grandezza A è multipla secondo il numero m della sottomultipla di B secondo il numero n.

3° La grandezza A non contiene un numero esatto di vote nè la grandezza B ne alcuna delle sue parti aliquote di essa.

In quest'ultimo  caso la grandezza A non può dirsi  somma nè m addendi  tutti uguali a B nè di m addendi tutti uguali a B/n.

Nel 1° caso  si potrà scrivere A/B= m e si dice che il rapporto tra le grandezze A e B è il numero intero m.

Nel 2° caso  si potrà scrivere che A/B = m/n e si dice che il rapporto tra le grandezze  A e B è il numero frazionario m/n 

Nel 3° caso  non esiste alcun numero intero o frazionario (n razionale) che è uguale al rapporto tra le grandezze A e B 

Si conclude che quando confrontando le due grandezze A e B  si verifica il 1° caso e il 2° caso, le due grandezze si dicono  commensurabili e che quando si verifica il 3° casso si dicono incommensurabili.

Die grandesse omogenee A e B si dicono commensurabili quando ammettono una multipla comune, cioè quando esistono due numeri interi m, n tali che si abbiam n x A= m x  

Considerando  invece i sottomultipli dei due membri dell'uguaglianza si ha : 

A/m = B/n

e si dice : se due grandezze hanno una multipla comune, esser hanno anche una summultipla comune 

DEFINIZIONE. Due grandezze omogenee  A e B si dicono incommensurabili  qunado non ammettono alcuna multipla e quindi alcuna sottomultipla comune.

esempi di coppie di grandezze incommensurabili  sono 

1) il lato  e la diagonale di un quadrato 

2) il lato e l'altezza di un triangolo equilatero 

                                                                                                                                

radice quadrata

radice quadrata 

un quadrato che ha il lato di 3 cm si può comporre in 9 cm ciascuno dei quali è un centimetro quadrato quindi la sua superficie è di centimetri quadrati 

9 cioè 3^2

l'area del quadrato si ottiene elevando al quadrato la misura del lato risolvendo il problema inverso cioè determinare il lato se abbiamo l'area.

esempio se l'area del quadrato è di cm 49 risulta evidente che il suo lato misura 7 cm infatti elevato al quadrato dà 49.

Quindi diciamo che 7 è la radice quadrata di 49     √49 = 7 

La radice quadrata di un numero che si a un quadrato perfetto è quel numero che elevato al quadrato di il numero dato.

così  √36 = 6  perché 6^2=36

L'operazione mediante la quale si trova la radice quadrata di un numero si dice estrazione di radice quadrata, essa è l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato e consente, come si è visto, di determinare la base del quadrato di un numero conoscendo il valore di tale potenza.

Se il numero è un quadrato perfetto  di un numero intero la sua radice quadrata sarà un numero intero.

Se il numero non è un quadrato perfetto non esisterà alcun numero intero che elevato al quadrato dia come  risultato quel numero.

esempio 

    √7 sarà un numero compreso tra 2 e 3

 

diagrammi delle funzioni matematiche

 diagrammi delle funzioni matematiche 

anche le funzioni matematiche si possono rappresentare graficamente. Sia

y= f(x) 

la funzione che si vuol studiare  

Si fissano  sopra un piano due assi ortogonali e su tali assi si sceglie sempre una medesima unità di misura. Si scelgono  poi  ad arbitrio diversi valori x1 - x2 - x3........della variabile x e di calcolano i valori y1 - y2 - y3 ........, che corrispondentemente assume al y in base all'equazione y = f(x)  si ha perciò 

y1 = (fx1) 

y2 = (fx2) 

ecc.

Si segnano di seguito sul piano nel modo che conosciamo  i pinti  P1 - P2 - P3 che hanno per coordinate  le coppie di numeri (x1,y1), (x2,y2) ecc. si congiungono tali punti con un tratto di linea continua e si ottiene un diagramma o grafico della funzione f(x) 

Dicesi diagramma della funzione y=f(x)  la linea che è il luogo geometrico dei punti del piano aventi per ascissa i valor della variabile x e per ordinata i valori corrispondenti della varabile dipendente y.

E' ovvio che il diagramma rispecchierà tanto meglio l'andamento della funzione quanto maggiore sarà  il numero dei  punti determinati.

Se x=a e y= b  sono le coordinate di un punto  della linea tracciata, si avrà che b= f(a) il che si esprime dicendo che le coordinate di un punto della linea soddisfano all'equazione y= f(x), . Viceversa se è data una linea, tra le coordinate x,y dei suoi punti esiste una relazione, che sotto certe condizioni, si può  scrivere sotto la forma y= f(x)  o F(x,y) = 0.

Questa relazione dicesi equazione della linea.

Da quanto precede risulta che il dire che un punto appartiene ad una linea equivale a dire che le sue coordinate soddisfano all'equazione della linea.