dato un prodotto
7x5x8 =280
osserviamo che se sostituiamo ai fattori 7 e 5 il loro prodotto 35 avremo
7x5 x8 = 35 x8 = 280
si ha perciò la seguente proprietà
in un prodotto di tre o più fattori ad o più di essi si può sostituire il loro prodotto già eseguito
lunedì 14 settembre 2015
LA PROPRIETA' COMMUTATIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE
il prodotto di due o piu' fattori non cambia se si muta l'ordine di essi
se ad esempio è dato il prodotto :
15 x 3 x4 = 45x4 = 180
4x15x3 = 60 x3 = 180
cioè il prodotto non cambia se cambiamo l'ordine dei fattori
la proprietà commutativa è utile perché ci dà la possibilità di fare la prova della moltiplicazione infatti l'operazione eseguita è esatta se moltiplicando i fattori in ordine diverso dal dato si ottiene lo stesso risultato
Il prodotto di due fattori di cui uno è l'unita è uguale all'altro fattore
1x 5 = 1+1+1+1+1= 5
se invece consideriamo il prodotto 5x1 questo significherebbe la somma di 1 addendo = 5 e non avrebbe senso perché sappiamo che in una somma gli addendi devono essere almeno due
quindi 5X1 = 5 si può scrivere solo così
il prodotto di due fattori è zero se uno dei fattori è zero
sappiamo che
0x5= 0+0+0+0+0 = 0
5x0 = 0
anche in questo caso è valida la proprietà commutativa
se ad esempio è dato il prodotto :
15 x 3 x4 = 45x4 = 180
4x15x3 = 60 x3 = 180
cioè il prodotto non cambia se cambiamo l'ordine dei fattori
la proprietà commutativa è utile perché ci dà la possibilità di fare la prova della moltiplicazione infatti l'operazione eseguita è esatta se moltiplicando i fattori in ordine diverso dal dato si ottiene lo stesso risultato
Il prodotto di due fattori di cui uno è l'unita è uguale all'altro fattore
1x 5 = 1+1+1+1+1= 5
se invece consideriamo il prodotto 5x1 questo significherebbe la somma di 1 addendo = 5 e non avrebbe senso perché sappiamo che in una somma gli addendi devono essere almeno due
quindi 5X1 = 5 si può scrivere solo così
il prodotto di due fattori è zero se uno dei fattori è zero
sappiamo che
0x5= 0+0+0+0+0 = 0
5x0 = 0
anche in questo caso è valida la proprietà commutativa
LA MOLTIPLICAZIONE
prodotto di due numeri
se si ha una somma di due o più numeri uguali per esempio
9+9+9+9 = 36
si conviene di scrivere tale somma con
9x4= 36
e ciascuna di esse si dice prodotto di 9 per 4 Il numero 9 che è uno degli addendi uguali della somma considerata si dice moltiplicando e il numero 4 che indica il numero degli addendi che si addizionano si dice moltiplicatore entrambi si chiamano fattori del prodotto
si dice prodotto di un numero per un altro diverso da 0 o 1 la somma di tanti addendi uguali al primo tante quante le unità del secondo
si ha ad es
9x5 = 9+9+9+9+9 5x3= 5+5+5
L'operazione che ci consente di trovare il prodotto di due numeri si dice moltiplicazione
il prodotto di più fattori
si dice prodotto di più fattori il numero che si ottiene moltiplicando il primo per il secondo il risultato ottenuto per il terzo e così via
7x5x4 = 35 x4 = 140
se si ha una somma di due o più numeri uguali per esempio
9+9+9+9 = 36
si conviene di scrivere tale somma con
9x4= 36
e ciascuna di esse si dice prodotto di 9 per 4 Il numero 9 che è uno degli addendi uguali della somma considerata si dice moltiplicando e il numero 4 che indica il numero degli addendi che si addizionano si dice moltiplicatore entrambi si chiamano fattori del prodotto
si dice prodotto di un numero per un altro diverso da 0 o 1 la somma di tanti addendi uguali al primo tante quante le unità del secondo
si ha ad es
9x5 = 9+9+9+9+9 5x3= 5+5+5
L'operazione che ci consente di trovare il prodotto di due numeri si dice moltiplicazione
il prodotto di più fattori
si dice prodotto di più fattori il numero che si ottiene moltiplicando il primo per il secondo il risultato ottenuto per il terzo e così via
7x5x4 = 35 x4 = 140
martedì 8 settembre 2015
le proprietà della sottrazione- LA PROPRIETA' INVARIANTIVA
PROPRIETA' INVARIANTIVA
la differenza di due numeri con cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae se possibile
lo stesso numero
infatti data la sottrazione
25 - 13 = 12
se ad entrambi i termini aggiungiamo uno stesso numero ad es 5 avremo
(25+5) - (13+5) = 30 -18 = 12
e se togliamo ad entrambi uno stesso numero ad es 3 avremo
(25-3) - (13-3) = 22- 10 = 12
per sottrarre da un numero la somma di più altri si può successivamente dal primo sottrarre gli addendi della somma
se ad es si vuole dal numero 56 togliere la somma
12+ 25 = 37
invece di calcolare come abbiamo fatto, tale somma ed eseguire poi la sottrazione
56 -37 = 19
si può dal numero dato togliere successivamente gli addendi della somma si ha perciò
56 - (12+25) = 56 -12 -25 = 44 -25 = 19
questa proprietà a volte è utile per il calcolo mentale
dovendo eseguire la sottrazione 144- 68 si scompone mentalmente 68 nella somma (60+ 8) e si immagina poi l'operazione
144 - 68 = 144 - (60 +8) = 144 -60 - 8 = 84 -8 = 76
viceversa
se da un numero si devono sottrarre successivamente più altri numeri si può dal primo sottrarre la loro somma
supponiamo che dal numero 32 si debbano togliere successivamente i numeri 8 e 13 avremo
32-8-13 = 32 -(8 +13) = 32 -21 = 11
osservazione alcune volte capiterà di e seguire il calcolo di un'espressione contenente addizioni e sottrazioni ad es. un'espressione del seguente tipo
27-15+17-8-2
dovremmo in tal caso eseguire successivamente le seguenti operazioni
27 - 15 = 12 12+7 = 19 19-8 = 11 11-2 = 9
quindi
27-15+7-8-2 = 9
si può invece più rapidamente ottenere il risultato trovato se dalla somma di tutti i numeri da aggiungere che sono 27 e 7 sottraiamo tutti quelli che sono da togliere cioè 15 8 e 2
potremo quindi scrivere
27- 15 +7 -8 -2 = (27+ 7) - (15+8+2) = 34-25= 9
se in un'espressione vi sono operazione di addizione e sottrazione conviene innanzi tutto eseguire le operazioni tra parentesi e se vi sono parentesi contenute nelle parentesi occorre eseguire le operazioni contenute nelle parentesi più interne
sottrazione di grandezze
da una grandezza si può sottrarre un'altra grandezza solo se esse sono della stessa specie per indicare che da m. 23 si sottraggono m. 15 si scrive
m.23 - m. 8 oppure m.( 23-15) = m. 8
la differenza di due grandezze omogenee riferite ad una stessa unità di misura è la grandezza avente per misura la differenza delle misure delle grandezze
la differenza di due numeri con cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae se possibile
lo stesso numero
infatti data la sottrazione
25 - 13 = 12
se ad entrambi i termini aggiungiamo uno stesso numero ad es 5 avremo
(25+5) - (13+5) = 30 -18 = 12
e se togliamo ad entrambi uno stesso numero ad es 3 avremo
(25-3) - (13-3) = 22- 10 = 12
per sottrarre da un numero la somma di più altri si può successivamente dal primo sottrarre gli addendi della somma
se ad es si vuole dal numero 56 togliere la somma
12+ 25 = 37
invece di calcolare come abbiamo fatto, tale somma ed eseguire poi la sottrazione
56 -37 = 19
si può dal numero dato togliere successivamente gli addendi della somma si ha perciò
56 - (12+25) = 56 -12 -25 = 44 -25 = 19
questa proprietà a volte è utile per il calcolo mentale
dovendo eseguire la sottrazione 144- 68 si scompone mentalmente 68 nella somma (60+ 8) e si immagina poi l'operazione
144 - 68 = 144 - (60 +8) = 144 -60 - 8 = 84 -8 = 76
viceversa
se da un numero si devono sottrarre successivamente più altri numeri si può dal primo sottrarre la loro somma
supponiamo che dal numero 32 si debbano togliere successivamente i numeri 8 e 13 avremo
32-8-13 = 32 -(8 +13) = 32 -21 = 11
osservazione alcune volte capiterà di e seguire il calcolo di un'espressione contenente addizioni e sottrazioni ad es. un'espressione del seguente tipo
27-15+17-8-2
dovremmo in tal caso eseguire successivamente le seguenti operazioni
27 - 15 = 12 12+7 = 19 19-8 = 11 11-2 = 9
quindi
27-15+7-8-2 = 9
si può invece più rapidamente ottenere il risultato trovato se dalla somma di tutti i numeri da aggiungere che sono 27 e 7 sottraiamo tutti quelli che sono da togliere cioè 15 8 e 2
potremo quindi scrivere
27- 15 +7 -8 -2 = (27+ 7) - (15+8+2) = 34-25= 9
se in un'espressione vi sono operazione di addizione e sottrazione conviene innanzi tutto eseguire le operazioni tra parentesi e se vi sono parentesi contenute nelle parentesi occorre eseguire le operazioni contenute nelle parentesi più interne
sottrazione di grandezze
da una grandezza si può sottrarre un'altra grandezza solo se esse sono della stessa specie per indicare che da m. 23 si sottraggono m. 15 si scrive
m.23 - m. 8 oppure m.( 23-15) = m. 8
la differenza di due grandezze omogenee riferite ad una stessa unità di misura è la grandezza avente per misura la differenza delle misure delle grandezze
la sottrazione
cioè differenza di due numeri
si dice differenza tra un numero ed un altro che non sia maggiore del primo un terzo numero che sommato al secondo dia per somma il primo
perciò la differenza tra 8 e3 che si indica con 8-3 è 5 perché 5+3= 8
risulta dalla definizione che la differenza di due numeri uguali è zero e che la differenza tra un numero e zero è il numero stesso
8-8=0 8-0= 8
si dice sottrazione l'operazione per mezzo della quale si determina la differenza tra due numeri il primo dei quali è il minuendo e il secondo è il sottraendo
il risultato si chiama differenza o resto
175 - 84 = 91
minuendo sottraendo differenza o resto
1574 - prova 626 +
948 = 948 =
626 1574
si dice differenza tra un numero ed un altro che non sia maggiore del primo un terzo numero che sommato al secondo dia per somma il primo
perciò la differenza tra 8 e3 che si indica con 8-3 è 5 perché 5+3= 8
risulta dalla definizione che la differenza di due numeri uguali è zero e che la differenza tra un numero e zero è il numero stesso
8-8=0 8-0= 8
si dice sottrazione l'operazione per mezzo della quale si determina la differenza tra due numeri il primo dei quali è il minuendo e il secondo è il sottraendo
il risultato si chiama differenza o resto
175 - 84 = 91
minuendo sottraendo differenza o resto
1574 - prova 626 +
948 = 948 =
626 1574
mercoledì 1 aprile 2015
proprietà del permutare e dell'invertire - matematica
consideriamo la proporzione
12:4 = 21:7 ;
scambiando in essa i due medi o i due estremi si ha
12:21 = 4:7 oppure 7:4 = 21 : 12
queste sono due nuove proporzioni perché entrambe come si può facilmente verificare il prodotto dei medi è uguale a quello dei due estremi cioè
se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi o i due estremi si ha una nuova proporzione
questa operazione prende il nome di proprietà del permutare
data una proporzione
20:5 = 12:3
se scambiamo ogni antecedente con il suo conseguente otteniamo
5:20 = 3:12
che è una nuova proporzione come risulta evidente verificando che il prodotto 20 x 3 = 60 dei due medi è uguale al prodotto 5x 12 dei due estremi cioè
se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ha una nuova proporzione
Questa operazione prende i nome di proprietà dell'invertire
12:4 = 21:7 ;
scambiando in essa i due medi o i due estremi si ha
12:21 = 4:7 oppure 7:4 = 21 : 12
queste sono due nuove proporzioni perché entrambe come si può facilmente verificare il prodotto dei medi è uguale a quello dei due estremi cioè
se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi o i due estremi si ha una nuova proporzione
questa operazione prende il nome di proprietà del permutare
data una proporzione
20:5 = 12:3
se scambiamo ogni antecedente con il suo conseguente otteniamo
5:20 = 3:12
che è una nuova proporzione come risulta evidente verificando che il prodotto 20 x 3 = 60 dei due medi è uguale al prodotto 5x 12 dei due estremi cioè
se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ha una nuova proporzione
Questa operazione prende i nome di proprietà dell'invertire
le proporzioni matematiche
definizioni
consideriamo due rapporti uguali ed esempio
18:3= 6 e 42:7 = 6
per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha :
18:3 =42:7
Un'uguaglianza di due rapporti che si legge 18 sta a 3 come 42 sta a 7 prende il nome di proporzione
cioè
una proporzione è l'uguaglianza di due rapporto
i numeri, 3, 18 ,42, 7 si dicono termini della proporzione il primo e il quarto sono gli estremi ed il secondo e il terzo sono medi. Inoltre il primo e il terzo cioè il 18 e il 42 si dicono antecedenti ed il secondo e il quarto conseguenti
18:6 = 12 :4 oppure 18/6 =12/4 (1)
e riduciamo le due frazioni dell'ultima uguaglianza allo stesso denominatore assumendo come tale il prodotto 6x4 dei loro denominatori si avrà
18x4/6x4 = 12x6//4x6 18x4/24 =12x6/24
poiché le due frazioni uguali aventi uguali denominatori hanno anche i numeratori uguali dall'ultima uguaglianza si trae:
18x4=12x6 (2)
osservate iche il primo membro della (2) è il prodotto degli estremi della data proporzione (1) n e che il secondo membro è il prodotto degli estremi si ha dunque una proprietà fondamentale:
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotti degli estremi
Viceversa
Quattro numeri in un certo ordine formano una proporzione se il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo
dati per esempio 4 numeri
9; 3; 15; 5
poiché si ha che 9x5=45 e 3x15 =45
risulta che 9x5=15x5
infatti il rapporto 9:3= 3 è uguale al rapporto 15:5 = 3
Ne consegue che dati quattro numeri per assicurarsi se nell'ordine assegnato formano una proporzione occorre verificare se il rapporto del primo al secondo è uguale al rapporto del terzo al quarto o se il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo
consideriamo due rapporti uguali ed esempio
18:3= 6 e 42:7 = 6
per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha :
18:3 =42:7
Un'uguaglianza di due rapporti che si legge 18 sta a 3 come 42 sta a 7 prende il nome di proporzione
cioè
una proporzione è l'uguaglianza di due rapporto
i numeri, 3, 18 ,42, 7 si dicono termini della proporzione il primo e il quarto sono gli estremi ed il secondo e il terzo sono medi. Inoltre il primo e il terzo cioè il 18 e il 42 si dicono antecedenti ed il secondo e il quarto conseguenti
proprietà delle proporzioni
Dati due qualsiasi rapporti uguali 18/6 = 3 e 12/4 = 3 consideriamo la proporzione18:6 = 12 :4 oppure 18/6 =12/4 (1)
e riduciamo le due frazioni dell'ultima uguaglianza allo stesso denominatore assumendo come tale il prodotto 6x4 dei loro denominatori si avrà
18x4/6x4 = 12x6//4x6 18x4/24 =12x6/24
poiché le due frazioni uguali aventi uguali denominatori hanno anche i numeratori uguali dall'ultima uguaglianza si trae:
18x4=12x6 (2)
osservate iche il primo membro della (2) è il prodotto degli estremi della data proporzione (1) n e che il secondo membro è il prodotto degli estremi si ha dunque una proprietà fondamentale:
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotti degli estremi
Viceversa
Quattro numeri in un certo ordine formano una proporzione se il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo
dati per esempio 4 numeri
9; 3; 15; 5
poiché si ha che 9x5=45 e 3x15 =45
risulta che 9x5=15x5
infatti il rapporto 9:3= 3 è uguale al rapporto 15:5 = 3
Ne consegue che dati quattro numeri per assicurarsi se nell'ordine assegnato formano una proporzione occorre verificare se il rapporto del primo al secondo è uguale al rapporto del terzo al quarto o se il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo
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