venerdì 26 maggio 2017

ripasso aritmetica I°

ripasso aritmetica

i numeri razionali assoluti sono tutti numeri interi e frazionari

ADDIZIONE

a) proprietà commutativa :  la somma di più numeri non cambia se si cambia il numero degli addendi
b) proprietà associativa : la somma di più numeri non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma
c) proprietà dissociativa: La somma di più numeri non cambia  se un suo addendo viene sostituito con due o più altri addendi la cui somma sia uguale all'addendo sostituito.

La somma di qualsiasi numero e dello zero è uguale al numero considerato.

MOLTIPLICAZIONE

a) proprietà commutativa : Il prodotto di due o più numeri non dipende dall'ordine dei fattori
b) proprietà associativa : il prodotto di due o più numeri non cambia se  a due o a più fattori si sostituisce il loro prodotto
c) proprietà dissociativa : il prodotto di più numeri non cambia se un fattore si sostituisce con due o più fattori il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito
d)  proprietà distributiva :  Il prodotto  di una somma per un numero  è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando  ordinatamente  gli addendi della somma data  per quel numeri

EQUIVALENZE

unità di misura

derivate dal metro

Mm        miriametro              10.000 metri
km          chilometro                1.000 metri
hm         ettometro                      100 metri
dam       decametro                       10 metri
m           metro                                1 metro
dm         decimetro                      0,1 metro
cm         centimetro                   0.01 metro
mm        millimetro                 0,001 metro

per la superficie diventeranno km^2 , m^2 ecc.  nei solidi Km^3 m^3 ecc.

misure agrarie

ha         ettaro                         10.000 metri quadrati
a           ara                                   100 metri quadrati
ca         centiara                                1 metro quadrato

derivati dal litro

kl         chilolitro                        1000 litri
hl          ettolitro                            100 litri
dal        decalitro                             10 litri
l           litro                                       1 litro
dl         decilitro                              0,1 litro
cl         centilitro                           0,01 litro
ml        millilitro                          0.001 litro

derivati dal grammo

t           tonnellata                        1000.000  grammi
q          quintale                             100.000 grammi
Mg       miriagrammo                      10.000 grammi
kg        chilogrammo                         1000  grammi
hg        ettogrammo                             100  grammi
dag       decagrammo                            10   grammi
g          grammo                                      1  grammo
dg         decigrammo                            0,1 grammi
cg          centigrammo                          0,01 grammi
mg        millligrammo                       0,001 grammi

peso specifico

Ps = P:V    peso specifico = peso : volume
P= Ps x V  peso = peso specifico x volume
V= P: Ps    volume = perso : peso specifico

i numeri primi sono numeri divisibili per 1 o per se stessi

scomporre un numero in fattori primi significa cercare i fattori primi contenuti esattamente nel numero dato  e scrivere il numero in  stesso come prodotto di divisori primi

un numero è divisibile per un altro quando, scomposti  entrambi in fattori primi  il primo contiene tutti i fattori del secondo  ognuno con esponente maggiore o uguale a quello con cui figura nel secondo

MCD = MASSIMO COMUN DIVISORE
il più grande numero contenuti in due o più numeri dati si trova scomponendo in fattori primi  moltiplicando tra loro i fattori comuni con il minimo esponente

MCM = MINIMO COMUNE MULTIPLO
il minor numero che contiene tutti i numeri dati si calcola scomponendo i numero in fattori primi e si moltiplicano  fra lor i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente

UNITA' FRAZIONARIA
ciascuna delle  parti ottenute dividendo l'unità intera in un certo numero di parti
il numero delle parti prese in considerazione è numeratore
il numero delle parti in cui è divisa l'unità è denominatore

un unità frazionaria con stesso numeratore e denominatore è una parte intera

frazione propria  il numeratore è minore del denominatore
frazione improprio il numeratore è maggiore del denominatore
frazione apparente il numeratore è multiplo del denominatore

Il valore di una frazione non cambia se moltiplichiamo o dividiamo i due termini per uno stesso numero





mercoledì 29 marzo 2017

gli insiemi matematici scuola superiore

gli insiemi matematici scuola superiore

Concetto di insieme

Sono fondamentali per la matematica moderno sia il concetto di insieme  si a quello di elemento dell'insieme che noi assumiamo come concetti primitivi ossia non li definiamo in quanto costituiscono per noi il punto di partenza per definirne altri. Tuttavia riteniamo utile illustrare i due concetto con le parole stesse usate da Cantor  : con i nome di insieme  intendiamo ogni raccolta classe aggregato totalità I di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: Tali oggetti vengono chiamati gli elementi di I.
Gli elementi di un insieme (astratti o concreti) possono essere di natura qualsiasi  purchè  ben determinati; cioè  che si sappia decidere senza ambiguità se un elemento appartiene o no all'insieme considerato: Pertanto un insieme  reterà individuato quando si conoscono singolarmente gli elementi  o perchè effettivamente elencati o perché assegnati mediante una proprietà caratteristica.


oppure può essere individuato assegnando  la proprietà caratteristica di suoi elementi (numeri naturali maggiori di 2 e minori di 7)

I = 2< x  < 7

(che si legge insieme formato dagli elementi  x tali che siano compresi tra 2 e 7 )
non sarebbe esauriente perché non è indicato l'ambiente in cui  bisogna trarre gli elementi x infatti x potrebbe indifferentemente rappresentare un numero naturale o solamente pari o solamente dispari  o un numero razionale  ecc.
La totalità degli elementi da cui  bisogna trare quelli occorrenti per formare un insieme si dice insieme ambiente o insieme universo che indicheremo con U

E' molto comoda la rappresentazione grafica degli insiemi realizzata con  i diagrammi di Venn secondo cui un insieme è raffigurato da una linea chiusa indicante I

lunedì 27 marzo 2017

monomi

Si dice monomio qualunque espressione algebrica in cui non figurano addizioni o sottrazioni


per esempio



10 a^3b            e   (2)a(+5)b


vediamo che ogni monomio  si può  presentare come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze di basi diverso.


2a^2b^2c

In questo caso il monomio si dice ridotto alla forma normale.

Si dice coefficiente di un monomio ridotto alla forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti.


Un monomio ridotto in forma normale si dice intero  se le lettere non figurano al denominatore  cioè  se tutte le sue lettere hanno esponente positivo in caso contrario si dice frazionario

monomi interi


5a^2               - 3 x^2yz  
                         4


monomi frazionari

2a^2               - 3y
b^3                   4x

si dice grado di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere
si ricordi che ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1


7ab^2c^3 è  1+2+3 = 6


Il grado ora definito si dice grado complessivo.
Si dice invece grado di un monomio intero rispetto ad una lettera l'esponente  di quella lettera

per esempio

3 a^3b^2c^      

è di grado 3 rispetto alla lettera a

Se in un monomio manca una data lettera si dice di grado 0 rispetto a quella lettera
per esempio


3ab^2c^0    è zero rispetto alla lettera c che corrisponde a 1

Espressioni algebriche

Espressioni algebriche

 estendendo una locuzione introdotta nell' aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme di qualunque dei numeri relativi rappresentanti anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni. Un'espressione algebrica si dice razionale quando le operazioni da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione.
Il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono. Razionali, perché quando si opera con s su numeri razionali interi e frazionari si ottengono sempre numeri razionali. Un'espressione si dice intera se fai segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello di divisione in caso contrario l'espressione si dice frazionaria.
Attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire a quella lettera il numero dato. Quando le lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazioni indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice per valore numerico delle espressioni algebrica per i dati valori delle lettere. Naturalmente si suppone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibile altrimenti le espressioni perde di significato

Si consideri l'espressione

-3a + 2b^2 - 5 c

e si voglia calcolare il valore numerico attribuendo alle lettere i valori

a = - 2         b= + 1       c = - 3
                            3               4


facendo la sostituzione


- 3 (-2) + 2(+1)^2 - 5(-3)
                     3             4

facendo i calcoli

6 + 2 + 15= 359
      9     4     36