Le figure uguali - il movimento
I ragionamento di figure uguali è complesso se lo si vuole trattare da un punto di vista razionale.
Nel momento in cui si parla di movimento dei corpi bisogna precisare la differenza tra i corpi rigidi e quelli deformabili. Si tratta di movimenti effettuati con corpi rigidi nel piano e nello spazio (movimenti rigidi). Anche le figure geometriche vanno pensati come corpi rigidi che possono essere assoggettate a movimenti che le trasferiscono da una zona ad un'altra del piano e dello spazio.
L'idea di movimento (rigido) di una figura geometria viene introdotta come concetto primitivo.
Diremo uguali due figure quando con un movimento è possibile portare una di esse a coincidere punto per punto con l'altra
Ciò significa che a movimento compiuto ogni punto A della prima figura F si identifica con un punto A' della seconda figura F' e che ogni punto B' della F' coincide con un punto B della F. I punti A;B....... della figura F si dicono corrispondenti od omologhi rispettivamente dei punti A';B' della figura F'.
POSTULATO. l'uguaglianza delle figure gode delle tre seguenti proprietà :
Ogni figura è uguale a se stessa (proprietà riflessiva dell'uguaglianza);
Se una prima figura è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale alla prima (proprietà simmetrica dell'uguaglianza);
Se una prima figura è uguale ad una seconda e questa è uguale ad una terza allora la prima è uguale alla terza (proprietà transitiva dell'uguaglianza).
Nella geometria piana i possibili movimenti dovrebbero essere soltanto quelli che consentono di spostare una figura facendola strisciare sul piano cui essa appartiene cioè quelli che fanno muovere il piano su se stesso.
Tuttavia introduce un'eccezione il ribaltamento del piano cioè quel movimento che si adopera ogni volta che si volta la pagina di un libro.
martedì 20 giugno 2017
mercoledì 7 giugno 2017
formule - addizione e sottrazione letterale
formule - addizione e sottrazione letterale
(+ a) + (+b) = a + b
(+ a) + (- b) = a - b = - (b - a)
(- a) + (- b) = - (a + b)
(+ a) - (- b) = a + b
(- a) - (- b) = - a + b = - (a - b)
a + b = a + b
m m m m
(+ a) + (+b) = a + b
(+ a) + (- b) = a - b = - (b - a)
(- a) + (- b) = - (a + b)
(+ a) - (- b) = a + b
(- a) - (- b) = - a + b = - (a - b)
a + b = a + b
m m m m
geometria - gli insiemi
geometria - gli insiemi
Nella matematica si usa il vocabolo insieme per indicare un qualunque raggruppamento di enti comunque scelti. Ad esempio si parla dell'insieme dei numeri naturali, dell'insieme dei triangoli , dell'insieme dei punti di un cerchio, dell'insieme dei vertici di un poligono.
Gli enti che, nel loro complesso formano un insieme si dicono elementi di quell'insieme.
Un insieme si dice finito se l'elenco dei suoi insiemi ha un termine, infinito in caso contrario. Ad esempio è finito l'insieme dei vertici di un poligono mentre è infinito l'insieme dei triangoli.
Un insieme finito può venire indicato racchiudendo tra i due segni di parentesi graffa gli elementi che lo contengono
A = {1,3,5}
Noi intendiamo significare che un insieme A ha per elementi i primi tre numeri naturali dispari.
Fra gli insiemi si considera anche quello privo di elementi o insieme vuoto che viene indicato con il simbolo
Ø Ad esempio è vuoto un insieme di triangoli aventi due angoli retto oppure l'insieme dei punti comuni a due circonferenze concentriche di raggio diverso.
Se consideriamo l'insieme T dei triangoli e l'insieme P dei poligoni ci accorgiamo che si verifica una situazione particolare: poiché ogni triangolo è pure un poligono si ha che ogni elemento di T è anche elemento di P. Si dice che T è sottoinsieme di P ovvero T è incluso in P.
In generale un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B se ogni elemento di A è pure elemento di B. Ad esempio l'insieme
{2,4} è incluso nell'insieme {2,4,6,8}l'insieme delle lettere della parola RAMO è sottoinsieme delle lettere della parola AMORE.
Nella matematica si usa il vocabolo insieme per indicare un qualunque raggruppamento di enti comunque scelti. Ad esempio si parla dell'insieme dei numeri naturali, dell'insieme dei triangoli , dell'insieme dei punti di un cerchio, dell'insieme dei vertici di un poligono.
Gli enti che, nel loro complesso formano un insieme si dicono elementi di quell'insieme.
Un insieme si dice finito se l'elenco dei suoi insiemi ha un termine, infinito in caso contrario. Ad esempio è finito l'insieme dei vertici di un poligono mentre è infinito l'insieme dei triangoli.
Un insieme finito può venire indicato racchiudendo tra i due segni di parentesi graffa gli elementi che lo contengono
A = {1,3,5}
Noi intendiamo significare che un insieme A ha per elementi i primi tre numeri naturali dispari.
Fra gli insiemi si considera anche quello privo di elementi o insieme vuoto che viene indicato con il simbolo
Ø Ad esempio è vuoto un insieme di triangoli aventi due angoli retto oppure l'insieme dei punti comuni a due circonferenze concentriche di raggio diverso.
Se consideriamo l'insieme T dei triangoli e l'insieme P dei poligoni ci accorgiamo che si verifica una situazione particolare: poiché ogni triangolo è pure un poligono si ha che ogni elemento di T è anche elemento di P. Si dice che T è sottoinsieme di P ovvero T è incluso in P.
In generale un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B se ogni elemento di A è pure elemento di B. Ad esempio l'insieme
{2,4} è incluso nell'insieme {2,4,6,8}l'insieme delle lettere della parola RAMO è sottoinsieme delle lettere della parola AMORE.
martedì 6 giugno 2017
geometria - postulati o assiomi
geometria - postulati o assiomi
Abbiamo visto che per definire un ente geometrico occorre far riferimento ad altri enti precedentemente introdotti che, a loro volta. possono essere definiti solo facendo ricorso ad altri fi modo che di concetto in concetto si deve necessariamente risalire a concetti primitivi.
In modo del tutto analogo, per dimostrare una data proprietà ci si deve riferire ad altre proprietà precedentemente dimostrate che a loro volta dipendono da altre.
Si viene così a costruire con un procedimento a ritroso una successione di proprietà che non può chiaramente estendersi all'infinito Per cui è necessario che alcune proprietà iniziali vengano introdotte senza darne una dimostrazione.
tali proprietà primitive vengono chiamati postulati o assiomi.
I postulati esprimono le prime proprietà dei rami della geometria e generalmente forniscono notizie riguardanti gli enti primitivi. Ad esempio noi dopo aver introdotto la retta come concetto primitivo ammetteremo che dati due punti A e B esiste una e una sola retta che li contiene entrambi .
Tale proposizione è chiaramente indimostrabile dato che non solo non conosciamo alcun'altra proprietà delle rette alla quale appoggiare un qualunque ragionamento in merito ma addirittura ignoriamo per mancanza di definizione cosa siano effettivamente i punti e le rette.
Si osservi a tal proposito che il discorso geometrico ha grossolanamente un inizio del tipo seguente : noi intendiamo trattare di certi enti xyz di cui non diamo nessuna definizione ma dei quali precisiamo che godono delle proprietà abc . E' ovvio che non ha alcun senso il cercare di dimostrare tale proprietà (postulati). e ciò non solo per l'insistenza di proprietà precedenti cui appoggiare il ragionamento ma soprattutto perché i postulati esprimono certe caratteristiche soggettivamente attribuite ad enti di natura imprecisata.
Per esempio se dicessimo :"noi vogliamo ragionare su certi oggetti che supponiamo siano solidi di color rosso elettrizzati positivamente ecc.2 che significato avrebbe dimostrare che il colore di questi oggetti è rosso perché la scelta del colore è casuale.
Da quanto esposto dovrebbe risultare chiaro che i postulati fornendo una serie di precisazioni circa gli enti primitivi li delimitano e li caratterizzano togliendo loro buona parte di quella arbitrarietà che sembrava assoluta allorché essi erano stati introdotti. Si può asserire che i postulati danno una definizione implicita degli enti primitivi
Abbiamo visto che per definire un ente geometrico occorre far riferimento ad altri enti precedentemente introdotti che, a loro volta. possono essere definiti solo facendo ricorso ad altri fi modo che di concetto in concetto si deve necessariamente risalire a concetti primitivi.
In modo del tutto analogo, per dimostrare una data proprietà ci si deve riferire ad altre proprietà precedentemente dimostrate che a loro volta dipendono da altre.
Si viene così a costruire con un procedimento a ritroso una successione di proprietà che non può chiaramente estendersi all'infinito Per cui è necessario che alcune proprietà iniziali vengano introdotte senza darne una dimostrazione.
tali proprietà primitive vengono chiamati postulati o assiomi.
I postulati esprimono le prime proprietà dei rami della geometria e generalmente forniscono notizie riguardanti gli enti primitivi. Ad esempio noi dopo aver introdotto la retta come concetto primitivo ammetteremo che dati due punti A e B esiste una e una sola retta che li contiene entrambi .
Tale proposizione è chiaramente indimostrabile dato che non solo non conosciamo alcun'altra proprietà delle rette alla quale appoggiare un qualunque ragionamento in merito ma addirittura ignoriamo per mancanza di definizione cosa siano effettivamente i punti e le rette.
Si osservi a tal proposito che il discorso geometrico ha grossolanamente un inizio del tipo seguente : noi intendiamo trattare di certi enti xyz di cui non diamo nessuna definizione ma dei quali precisiamo che godono delle proprietà abc . E' ovvio che non ha alcun senso il cercare di dimostrare tale proprietà (postulati). e ciò non solo per l'insistenza di proprietà precedenti cui appoggiare il ragionamento ma soprattutto perché i postulati esprimono certe caratteristiche soggettivamente attribuite ad enti di natura imprecisata.
Per esempio se dicessimo :"noi vogliamo ragionare su certi oggetti che supponiamo siano solidi di color rosso elettrizzati positivamente ecc.2 che significato avrebbe dimostrare che il colore di questi oggetti è rosso perché la scelta del colore è casuale.
Da quanto esposto dovrebbe risultare chiaro che i postulati fornendo una serie di precisazioni circa gli enti primitivi li delimitano e li caratterizzano togliendo loro buona parte di quella arbitrarietà che sembrava assoluta allorché essi erano stati introdotti. Si può asserire che i postulati danno una definizione implicita degli enti primitivi
geometria - i teoremi inversi
geometria - i teoremi inversi
Consideriamo l'implicazione logica espressa nel proverbio "chi dorme non piglia pesci".
Dall'ipotesi una persona dorme discende la tesi non piglia pesci.
Proviamo a rovesciare il discorso cioè a scambiare l'ipotesi con la tesi. Me viene fuori l'implicazione inversa chi non piglia pesci dorme ma questo non è esatto non tutti quelli che non pigliano pesci stanno dormendo.
Mentre se prendiamo il teorema " se due corde di un cerchio sono uguali esse hanno uguali distanze dal centro ".
Scambiando l'ipotesi con la tesi si ottiene il teorema inverso se due corde di un cerchio hanno uguali distanze dal centro sono uguali infatti anche questo teorema è vero.
Quando due teoremi uno inverso dell'altro sono entrambi veri si conviene enunciarli insieme facendo precedere l'enunciato di uno solo di essi dalla locazione condizione necessaria e sufficiente.
Non sempre per un teorema diretto ne esiste uno inverso.
Consideriamo l'implicazione logica espressa nel proverbio "chi dorme non piglia pesci".
Dall'ipotesi una persona dorme discende la tesi non piglia pesci.
Proviamo a rovesciare il discorso cioè a scambiare l'ipotesi con la tesi. Me viene fuori l'implicazione inversa chi non piglia pesci dorme ma questo non è esatto non tutti quelli che non pigliano pesci stanno dormendo.
Mentre se prendiamo il teorema " se due corde di un cerchio sono uguali esse hanno uguali distanze dal centro ".
Scambiando l'ipotesi con la tesi si ottiene il teorema inverso se due corde di un cerchio hanno uguali distanze dal centro sono uguali infatti anche questo teorema è vero.
Quando due teoremi uno inverso dell'altro sono entrambi veri si conviene enunciarli insieme facendo precedere l'enunciato di uno solo di essi dalla locazione condizione necessaria e sufficiente.
Non sempre per un teorema diretto ne esiste uno inverso.
lunedì 5 giugno 2017
geometria - i corollari
geometria - i corollari
in certi casi accade che, una volta dimostrato un teorema da questo conseguano altri teoremi in modo tanto immediato che le relative dimostrazioni possono essere del tutto omesse o appena accennate. tali proposizioni, che sono immediate conseguenze di un precedente teorema sono dette suoi corollari.
Ad esempio una volta dimostrato il teorema: "in un triangolo ad angolo maggiore corrisponde il lato maggior" di può subito dedurre il corollario: "l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore di ciascuno dei due cateti".
si può ricordare che essendo retto l'angolo opposto all'ipotenusa esso è maggiore degli angoli opposti ai cateti che sono acuti.
Si noti che è piuttosto soggettivo lo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un'altra preposizione ammessa in precedenza. Per questo motivo la distinzione tra teoremi veri e propri e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.
Certe proprietà degli enti geometrici sono espresse da proporzioni non dimostrabili che chiameremo postulati o assiomi. Anche da tali proprietà discendono conseguenze del tutto immediate.
Esse pure vengono dette corollari.
in certi casi accade che, una volta dimostrato un teorema da questo conseguano altri teoremi in modo tanto immediato che le relative dimostrazioni possono essere del tutto omesse o appena accennate. tali proposizioni, che sono immediate conseguenze di un precedente teorema sono dette suoi corollari.
Ad esempio una volta dimostrato il teorema: "in un triangolo ad angolo maggiore corrisponde il lato maggior" di può subito dedurre il corollario: "l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore di ciascuno dei due cateti".
si può ricordare che essendo retto l'angolo opposto all'ipotenusa esso è maggiore degli angoli opposti ai cateti che sono acuti.
Si noti che è piuttosto soggettivo lo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un'altra preposizione ammessa in precedenza. Per questo motivo la distinzione tra teoremi veri e propri e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.
Certe proprietà degli enti geometrici sono espresse da proporzioni non dimostrabili che chiameremo postulati o assiomi. Anche da tali proprietà discendono conseguenze del tutto immediate.
Esse pure vengono dette corollari.
geometria - i teoremi
geometria - i teoremi
"riscaldando un corpo solido si dilata"
Il prodursi del primo fatto implica il verificarsi del secondo. Per questo motivo questa frase prende il nome di implicazioni logiche o semplicemente implicazioni.
La prima delle situazioni considerate si chiama ipotesi. La seconda si dice tesi.
L'ipotesi riscaldo un corpo solido
la tesi il corpo si dilata.
Nelle implicazioni logiche di tipo matematico la dipendenza della tesi dalla relativa ipotesi non viene accettata perché la cosa è evidente o perché l'esperienza ripetuta ci prova che tale dipendenza effettivamente sussiste, bensì in virtù di un preciso ragionamento che viene detto dimostrazione.
Le implicazioni logiche che possono essere provate mediante una dimostrazione si chiamano teoremi.
In un teorema la proposizione che si intende dimostrare viene detta enunciato del teorema stesso.
"riscaldando un corpo solido si dilata"
Il prodursi del primo fatto implica il verificarsi del secondo. Per questo motivo questa frase prende il nome di implicazioni logiche o semplicemente implicazioni.
La prima delle situazioni considerate si chiama ipotesi. La seconda si dice tesi.
L'ipotesi riscaldo un corpo solido
la tesi il corpo si dilata.
Nelle implicazioni logiche di tipo matematico la dipendenza della tesi dalla relativa ipotesi non viene accettata perché la cosa è evidente o perché l'esperienza ripetuta ci prova che tale dipendenza effettivamente sussiste, bensì in virtù di un preciso ragionamento che viene detto dimostrazione.
Le implicazioni logiche che possono essere provate mediante una dimostrazione si chiamano teoremi.
In un teorema la proposizione che si intende dimostrare viene detta enunciato del teorema stesso.
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