geometria - uguaglianza delle rette
Sappiamo che data una retta AB = r esistono su r due possibili ordinamenti dei suoi punti : quello per il quale A precede B e l'altro per il quale B precede A. Allorché si fissa uno di tali ordinamenti ( ad esempio il primo) si viene automaticamente a fissare su r un vero di percorrenza (quello da A verso B) od a una orientazione della retta.
La retta si dice allora orientata. Il verso prescelto viene detto verso positivo; l'altro verso negativo.
4° postulato. Date due rette orientate a e b e due loro punti A (appartenente ad a ) e B (appartenente a b) esistono due movimenti rigidi che portano a a coincidere con b con A su B : l'uno fa coincidere le due orientazioni e l'altro le dispone in senso opposto.
COROLLARIO. Tutte le rette sono uguali
Infatti date due rette è possibile con un movimento portarle a coincidere.
mercoledì 22 novembre 2017
martedì 12 settembre 2017
molteplicità delle rette
molteplicità delle rette
3° POSTULATO
Dato un punto P esistono rette che non lo contengono
1° COROLLARIO
esistono infinite terne di punti non allineati. Infatti siano P un punto ed r una retta non passante per esso. Presi sulla r distinti punti A e B si ottiene la terna P,A,B di punti che non sono allineati perché per A e B passa solo la retta r e P non appartiene ad essa.
2° COROLLARIO
Per ogni punto P passano infinite rette.
Basta considerare una retta r non passante per P. Congiungendo P con gli infiniti punti r si ottengono infinite rette passanti per P
3° COROLLARIO
Esistono infiniti punti non appartenenti alla retta r.
Infatti se A è un punto di r ed s è una retta contenente A tutti gli infiniti punti di s uno al più escluso risultano esterni alla r.
Un Punto A appartenente ad una retta r si dice interno ad essa un punto P non appartenente alla retta r si dice esterno ad r.
3° POSTULATO
Dato un punto P esistono rette che non lo contengono
1° COROLLARIO
esistono infinite terne di punti non allineati. Infatti siano P un punto ed r una retta non passante per esso. Presi sulla r distinti punti A e B si ottiene la terna P,A,B di punti che non sono allineati perché per A e B passa solo la retta r e P non appartiene ad essa.
2° COROLLARIO
Per ogni punto P passano infinite rette.
Basta considerare una retta r non passante per P. Congiungendo P con gli infiniti punti r si ottengono infinite rette passanti per P
3° COROLLARIO
Esistono infiniti punti non appartenenti alla retta r.
Infatti se A è un punto di r ed s è una retta contenente A tutti gli infiniti punti di s uno al più escluso risultano esterni alla r.
Un Punto A appartenente ad una retta r si dice interno ad essa un punto P non appartenente alla retta r si dice esterno ad r.
mercoledì 6 settembre 2017
geometria - le rette come insieme ordinato
geometria - le rette come insieme ordinato
Un insieme si dice ordinato quando è stato introdotto da un criterio di precedenza in virtù del quale presi due suoi qualunque elementi a e b si può stabilire se a precede b oppure se b precede a.
Ad esempio possiamo ordinare l'insieme dei numeri naturali convenendo che di due di tali numeri il minore precede il maggiore.
Per l'insieme degli alunni della classe possiamo fissare un ordine utilizzando l'elenco alfabetico dei loro nomi.
Si noti che ad ogni ordinamento attribuito agli elementi di un insieme corrisponde sempre un ordinamento in senso opposto. Così nei due esempi citati si possono ordinare i numeri naturali dal maggiore al minore o elencare i nomi degli alunni della classe dalla lettera Z alla lettera A.
L'ordinamento dato ad un insieme gode della proprietà transitiva nel senso che se un elemento a precede un elemento b e b precede l'elemento c allora a precede anche l'elemento c.
2° POSTULATO
Ogni retta r è un insieme ordinato di punti. L'ordinamento è tale che :
presi su r due punti distinti A e B esiste sempre un punto di r compreso tra A e B; preso su r un punto C esistono sempre due punti A e B di r fra i quali esso è compreso.
1° COROLLARIO. Fra due punti A e B di r sono compresi infiniti punti appartenenti ad r. Infatti tra A e B deve essere compreso un punto C di r; così fra A e C deve essere compreso un punto D di r; fra A e D un altro fra a e quest'ultimo punto deve essere compreso un altro punto e così all'infinito.
Gli insiemi ordinati per i quali fra due elementi qualunque è sempre compreso un altro elemento si dicono insiemi densi. La retta è un insieme ordinato e denso.
2° COROLLARIO. ogni punto C di una retta r è preceduto e seguito da infiniti punti di r.
Il ragionamento è simile al precedente. Come il punto C deve essere preceduto dal punto A e seguito dal punto B di r così A deve essere preceduto da un punto A1 e B seguito da B1 di r; a loro volta A1 e B1 devono essere rispettivamente preceduto da A2 B2 appartenenti a r e così via all'infinito.
Ogni insieme ordinato per il quale un suo qualunque elemento è preceduto e seguito da un altro elemento si dive insieme privo di primo e ultimo elemento. Pertanto abbiamo che anche la retta è un insieme primo di primo e ultimo elemento.
Dai due primi corollari segue che :
3° COROLLARIO. Ogni retta è un insieme infinito di punti.
Un insieme si dice ordinato quando è stato introdotto da un criterio di precedenza in virtù del quale presi due suoi qualunque elementi a e b si può stabilire se a precede b oppure se b precede a.
Ad esempio possiamo ordinare l'insieme dei numeri naturali convenendo che di due di tali numeri il minore precede il maggiore.
Per l'insieme degli alunni della classe possiamo fissare un ordine utilizzando l'elenco alfabetico dei loro nomi.
Si noti che ad ogni ordinamento attribuito agli elementi di un insieme corrisponde sempre un ordinamento in senso opposto. Così nei due esempi citati si possono ordinare i numeri naturali dal maggiore al minore o elencare i nomi degli alunni della classe dalla lettera Z alla lettera A.
L'ordinamento dato ad un insieme gode della proprietà transitiva nel senso che se un elemento a precede un elemento b e b precede l'elemento c allora a precede anche l'elemento c.
2° POSTULATO
Ogni retta r è un insieme ordinato di punti. L'ordinamento è tale che :
presi su r due punti distinti A e B esiste sempre un punto di r compreso tra A e B; preso su r un punto C esistono sempre due punti A e B di r fra i quali esso è compreso.
1° COROLLARIO. Fra due punti A e B di r sono compresi infiniti punti appartenenti ad r. Infatti tra A e B deve essere compreso un punto C di r; così fra A e C deve essere compreso un punto D di r; fra A e D un altro fra a e quest'ultimo punto deve essere compreso un altro punto e così all'infinito.
Gli insiemi ordinati per i quali fra due elementi qualunque è sempre compreso un altro elemento si dicono insiemi densi. La retta è un insieme ordinato e denso.
2° COROLLARIO. ogni punto C di una retta r è preceduto e seguito da infiniti punti di r.
Il ragionamento è simile al precedente. Come il punto C deve essere preceduto dal punto A e seguito dal punto B di r così A deve essere preceduto da un punto A1 e B seguito da B1 di r; a loro volta A1 e B1 devono essere rispettivamente preceduto da A2 B2 appartenenti a r e così via all'infinito.
Ogni insieme ordinato per il quale un suo qualunque elemento è preceduto e seguito da un altro elemento si dive insieme privo di primo e ultimo elemento. Pertanto abbiamo che anche la retta è un insieme primo di primo e ultimo elemento.
Dai due primi corollari segue che :
3° COROLLARIO. Ogni retta è un insieme infinito di punti.
lunedì 10 luglio 2017
geometria - le rette
geometria - le rette
Fra i sottoinsiemi del piano (cioè le figure piane) vi sono insiemi di punti di tipo particolare che chiameremo rette.
Assumiamo come primitivo il concetto di retta. Le proprietà che caratterizzano le rette sono fissate nei postulati che seguono.
Prima di enunciare tali postulati precisiamo che mentre i punto si indicano con le lettere maiuscole (A B C ....) le rette si indicano generalmente con le lettere minuscole (a b c .....)
La retta individuata dai due punti A e B viene anche detta contingente i punti A e B o retta AB.
Il precedente postulato si suole enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una sola retta
Dal precedente postulato consegue il
Due rette aventi un punto P in comune si dicono incidenti. Il punto P si chiama punto di incidenza o di intersezione o di incontro delle due rette.
Dati più punti se accede che appartengono tutti alla stessa retta allora i punti si dicono allineati. Il precedente postulato ci garantisce che i punto sono sempre allineati
Fra i sottoinsiemi del piano (cioè le figure piane) vi sono insiemi di punti di tipo particolare che chiameremo rette.
Assumiamo come primitivo il concetto di retta. Le proprietà che caratterizzano le rette sono fissate nei postulati che seguono.
Prima di enunciare tali postulati precisiamo che mentre i punto si indicano con le lettere maiuscole (A B C ....) le rette si indicano generalmente con le lettere minuscole (a b c .....)
1° postulato
Dati due punti A e B esiste una e una sola retta che li contiene entrambiLa retta individuata dai due punti A e B viene anche detta contingente i punti A e B o retta AB.
Il precedente postulato si suole enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una sola retta
Dal precedente postulato consegue il
corollario
Due rette distinte non possono avere più di un punto in comune (altrimenti coinciderebbero)Due rette aventi un punto P in comune si dicono incidenti. Il punto P si chiama punto di incidenza o di intersezione o di incontro delle due rette.
Dati più punti se accede che appartengono tutti alla stessa retta allora i punti si dicono allineati. Il precedente postulato ci garantisce che i punto sono sempre allineati
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