le espressioni

le espressioni - algebriche

estendendo una  locuzione introdotta nell'aritmetica  si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni 

sono per esempio  espressioni algebriche :
 3 ab^2
7a - b^2

4a+ 2ab^2
_________
a+ b

una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione  le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che  le quattro  operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi  o frazionari si ottengono sempre numeri razionale

una espressione si dice intera  se fra i segni  di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria

attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato

quando  alle lettere di un'espressione algebrica  si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono   tutte le operazione indicate si ottiene come risultato  un numero relativo  che si dice valore numerico  dell'espressione algebrica per i dati  valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato

così ad esempio  se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0

-3a +2b^2- 5c

se a =-2
se b= + 1
             3
se c= 3
         4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
                       3              4                  4      36
           

numeri relativi : proprietà dell'addizione

numeri relativi : proprietà dell'addizione

l'addizione  di più numeri relativi gode della proprietà commutativa e associativa dell'addizione aritmetica

proprietà commutativa - la somma di più numeri  relativi non cambia  comunque si muti l'ordine  degli addendi

55-7-12+8+ 16 = -12+5+8-7+16

proprietà associativa  - la somma di più numeri relativi non cambia se ad alcuni di essi si sostituisce la loro somma effettuata

-3+12-7+4-6

invece di operare secondo la definizione  possiamo ad esempio  sostituire gli addendi  +12 -17  e + 4  con la loro somma effettuata perciò ricordando l'uso delle parentesi  si può scrivere

-3+12-17+4 -6 = -3+(12-17+4)-6

la proprietà associativa  può essere espressa  mediante la seguente regola pratica

in una somma di più numeri relativi  si può racchiudere tra parentesi preceduta dal segno +  un numero qualunque di addendi  scrivendo questi numeri con gli stessi segni che hanno nella somma data

OSSERVAZIONE
i numeri che sostituiscono la somma effettuata no devono necessariamente occupare posizioni consecutive  perché mediante la proprietà commutativa si possono sempre ordinare in posizioni  consecutive prima di sostituirli con la somma effettuata

proprietà dissociativa - la somma di più numeri relativi non cambia se ad uno di essi si sostituiscono  più numeri relativi  la cui somma sia eguale al numero soppresso

-7+ (8-5+2) = -7+8-5+2

si può anche dire che per aggiungere a un numero una somma si può aggiungere a quel numero  ciascun addendo alla somma

da qui si deduce una regola pratica

quando davanti ad una parentesi  che racchiude una somma vi è il segno +  si può togliere la partentesi sopprimendo il segno +  che a precede e lasciando  inalterato i segni dei suoi addendi 

usando la proprietà commutativa si possono  sommare tra loro  separatamente i numeri positivi e quelli negativi e poi si sommano i due numeri relativi ottenuti

numeri relativi : addizione

l'addizione con i numeri relativi si indica ponendo il segno + fra i numeri relativi chiusi entro una parentesi con il proprio segno

esempio

(+7)+(-15)+(+10)+(-4)

la somma di due numeri relativi è definita dalle definizioni

I   la somma di due numeri relativi dello stesso segno  è il numero relativo che ha lo setto segno degli addendi e per valore assoluto la somma di loro valori assoluti

esempi

(+7)+(+15) = +22

(-8)+ (-6) = -14

questa regola è evidente se pensiamo a numeri positivi come crediti e i numeri relativi come debiti

II   la somma di due numeri relativi di segno contrario  è il numero relativo che ha il segno  dell'addendo  in valore assoluto maggiore  e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei numeri dati

esempi

(+10) + (-7) = +3
(+15 ) +(-20) = - 5

II  la somma di due numeri opposti è 0

esempi

(+7) + (-7) = 0
(-10) + (+10) = 0

IV la somma di un numero relativo  e di zero è uguale al primo numero

esempio
(+3)+ 0 = +3

V   la somma di più numeri relativi in un dato ordine è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al primo  il secondo alla somma ottenuta il terzo  e così via

esempio

(+3) + (-10) + (-6) + (+15) + (-7) =
(-7) + (-6) + (+15)+(-7)=
(-13) + (+15) +(-7) =
(+2 )+ (-7) = -5

se uno o più numeri sono frazioni  si riducono i valori assoluti al minimo comune denominatore  e si sommano  i numeri frazionari applicando  le regole precedenti

numeri relativi - addizione

confronto di numeri relativi

Due numeri relativi sono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto 

sono uguali per esempio

+5   e   +(3+2)

vediamo ora come si possono confrontare  due numeri relativi  cioè riconoscere  dati due numeri relativi se l'uno  è maggiore o minore dell'altro.
Si giunge  a ciò facilmente  interpretando  i numeri positivi come crediti e numeri  negativi come debiti.
Se un tale ha un credito di 5 euro  possiede di più di chi non ha nulla  ed un tizio che non ha nulla si trova in condizioni  migliore di chi ha un debito di 10 euro

5>0    e    0>di -10

Più generalmente

Ogni numero positivo è maggiore di zero e ogni numero negativo è minore di 0

Se poi un tale ha un credito di 15 euro  possiede di più di chi ne ha uno di 10 euro  mentre un tale che ha un debito di 20 euro  si trova in condizioni migliori di  chi ha un debito di 50 ero quindi

+15 > +10               -20 > -50

più generalmente

di due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore e di due numeri negativi ha valore maggiore quello che ha il valore assoluto minore

Risulta evidente che chi ha un credito di 30 ha di più di chi a un debito di venti

+ 30 > - 20 

più generalmente  ogni numero positivo è maggiore di un numero negativo

DATI DUE NUMERI  RELATIVI QUALUNQUE  IL MAGGIORE DI ESSI E' QUELLO CHE SULLA RETTA  HA PER IMMAGINE UN PUNTO  SITUATO PIU' A DESTRA DELL'IMMAGINE DELL'ALTRO