geometria analitica

  geometria analitica

per geometria analitica si intende quella parte della matematica che, partendo  da semplici precisi riferimenti geometrici si interessa  in particolare della rappresentazione grafica delle funzioni  a due nel piano o a tre nello spazio variabili.

Ma la sola visualizzazione di un ente algebrico astratto come lo è quello della funzione non può essere considerato come i solo fine di questo particolare ramo della matematica che, a detta di molti è un vero ponte gettato tra l'algebra e la geometria. L'aver raggiunto lo scopo di associare all'ente algebrico un particolare ente geometrica, e viceversa, ci permetterà di raggiungerne un altro ben più prestigioso e che, specificatamente  dovrà essere quello di impostare geometricamente un problema geometrico.

disequazioni di 1° grado

 disequazioni di primo grado 

prima di studiare le disequazioni è opportuno sapere :

1) aggiungendo ai due membri di una disuguaglianza uno stesso numero il senso della disuguaglianza non cambia

se a > b    a+c > b+c

2) si possono sommare membro a membro due uguaglianze dello stesso senso ottenendo sempre una disuguaglianza delle stesso tempo 

 se a > b  

c > d 

si ottiene  a + c >b+d

3) una disuguaglianza non cambia di senso moltiplicando o dividendo i due membri per uno stesso numero positivo mentre cambia senso moltiplicando o dividendo i membri per uno stesso numero negativo 

se a > b ed m > zero  si ottiene am >  bm

se a > b ed m < zero si ottiene am < di bm

quindi se cambiamo di segno a uno dei due membri cambia la disuguaglianza 

4) moltiplicando membro a membro  due uguaglianze dello stesso senso fra numeri positivi si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso

se a > 0 e b > 0  da a > b 

c >  d  

allora  ac >bd

5) se a e b sono numeri ambedue negativi o positivi  da a maggiore di b si deduce che 1  < 1  e                                                                                                                                                          a      b

6) se a e b sono positivi e  a maggiore di b è pure qualunque n intero positivo a^2>b^2

7)  se a e b sono numero negativi ed a > b si deduce che a^n > b^n  per n intero dispari; e a^n < b^n se n è positivo pari                                                               

equazioni letterali

 equazioni letterali 

un'equazione si dice letterale quando i coefficienti non sono tutti numerici ma risultano in tutto o in parte letterali 

Il procedimento  da seguire per risolvere le equazioni letterali è lo stesso di quello seguito per le equazioni numeriche fate attenzione a 

1) dopo aver trasportato per esempio dal 1° membro i termini contenenti l'incognita ed effettuata la riduzione  dei termini  simili si deve avere l'avvertenza di mettere a fattore comune l'incognita 

2) procedere alla discusione dell'equazione perché  per particolari valori delle lettere l'equazione può essere determinata impossibile o indeterminata

esempio 

2+a-(5x-3a)-(2b+4a)= 5b-7ax

eliminiamo le parentesi si ha :

2+a-5x+3a-2b-4a=5b-7ax

riducendo i termini simili si ha :

2-5x-2b=5b-7ax

trasportando i termini contenenti l'incognita a 1° membro e gli altri al 2°membro 

x(7a-5)=7b-2

1° caso 

per a diverso da 5/7 l'equazione è determinata e x= 7b-2 

                                                                                  7a-5

2° caso 

per a = 5/7 e b diverso da 2/7  l'equazione è impossibile

3°

per a = 5/7 e b= 2/7 l'equazione è indeterminata 

equazioni e identità

equazioni e identità 

E' un'equazione l'uguaglianza 

X + 4 = 9

che equivale all'interrogativo quale è quel numero che aggiunto a 4 dà come risultato 9 ? la soluzione è evidentemente il numero 5 

Ed è anche un'equazione l'uguaglianza 

X + 7 = 3

che traduce l'interrogativo  quale numero dobbiamo aggiungere a 7 per ottenere come risultato 3?  la soluzione sarà un numero negativo -4

è anche un'equazione la seguente uguaglianza

3X = 5

dobbiamo in questo caso introdurre i numeri frazionari il risultato sarà 5

                                                                                                                  3

è un'equazione anche 

x+y= 24

il risultato saranno infiniti numeri che danno 24

può anche non avere soluzioni per esempio 

0 x X=5

infatti nessun numero moltiplicato per 0 può dare come risultato 5

invece 

3+8= 11

è un identità