tutorial addizione e sottrazione in colonna

ecco un video tutorial sull'addizione e sottrazione in colonna

 

esercizi svolti dimostrazioni assiomi geometria

 Ecco alcuni esercizi svolti con dimostrazioni sugli assiomi delle rette e semirette in geometria.

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Esercizio 1: Esistenza e unicità della retta passante per due punti

📌 Enunciato: Dimostrare che per due punti distinti passa una e una sola retta.

✍ Dimostrazione:

• Consideriamo due punti distinti $A$ e $B$.
• Per l'assioma di appartenenza, esiste almeno una retta $r$ che contiene entrambi i punti $A$ e $B$.
• Supponiamo per assurdo che esistano due rette diverse $r$ e $s$ passanti per $A$ e $B$.
• Per l'assioma di unicità, due rette distinte non possono avere più di un punto in comune.
• Ma $A$ e $B$ appartengono a entrambe, quindi $r = s$.
  ✔ Conclusione: La retta che passa per due punti distinti è unica.

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Esercizio 2: Proprietà di una semiretta

📌 Enunciato: Dati tre punti allineati $A$, $B$, $C$, con $B$ tra $A$ e $C$, dimostrare che esiste una semiretta con origine in $A$ che contiene $B$ e $C$.

✍ Dimostrazione:

• Per definizione, una semiretta è l’insieme dei punti di una retta che stanno da una stessa parte rispetto a un punto detto origine.
• Poiché $A$, $B$, $C$ sono allineati, esiste una retta $r$ che li contiene tutti.
• Consideriamo la semiretta con origine in $A$ che passa per $B$.
• Poiché $C$ è dopo $B$ sulla stessa retta, esso appartiene alla stessa semiretta.
  ✔ Conclusione: Esiste una semiretta con origine in $A$ che passa per $B$ e $C$.

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Esercizio 3: Due rette incidenti hanno un solo punto in comune

📌 Enunciato: Dimostrare che se due rette si intersecano, lo fanno in un unico punto.

✍ Dimostrazione:

• Siano $r$ e $s$ due rette nel piano che si intersecano.
• Per definizione di rette incidenti, esiste almeno un punto $P$ appartenente a entrambe.
• Supponiamo per assurdo che $r$ e $s$ abbiano due punti distinti $P$ e $Q$ in comune.
• Per l'assioma di unicità della retta per due punti, esiste una sola retta passante per $P$ e $Q$.
• Quindi $r$ e $s$ dovrebbero coincidere, contraddicendo l’ipotesi che siano rette distinte.
  ✔ Conclusione: Due rette incidenti si intersecano in un solo punto.

gli insiemi simboli e definizioni con esempi pratici

 gli insiemi simboli e definizioni con esempi pratici

Insiemi: Simboli e Definizioni in Matematica

Gli insiemi sono una nozione fondamentale in matematica, usata per descrivere collezioni di oggetti (detti elementi). Ecco i principali simboli e definizioni legati agli insiemi:

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Definizioni di Base

• Insieme: Una collezione ben definita di elementi. Si indica solitamente con lettere maiuscole (es. $A, B, C$).
• Elemento: Un oggetto appartenente a un insieme. Si indica con lettere minuscole (es. $a, b, c$).
• Appartenenza: Se un elemento $x$ appartiene a un insieme $A$, si scrive $x \in A$; altrimenti, $x \notin A$.

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Simboli e Operazioni sugli Insiemi

1. Appartenenza:

   • $x \in A$: $x$ è un elemento dell'insieme $A$.
   • $x \notin A$: $x$ non appartiene all'insieme $A$.

2. Inclusione:

   • $A \subseteq B$: $A$ è sottoinsieme di $B$, cioè ogni elemento di $A$ appartiene anche a $B$.
   • $A \subset B$: $A$ è sottoinsieme proprio di $B$, cioè $A \subseteq B$ ma $A \neq B$.

3. Insieme Vuoto:

   • Indicato con $\emptyset$, è l'insieme che non contiene elementi.

4. Unione ($\cup$):

   • $A \cup B$: Insieme degli elementi che appartengono a $A$, a $B$, o a entrambi.

5. Intersezione ($\cap$):

   • $A \cap B$: Insieme degli elementi che appartengono sia a $A$ sia a $B$.

6. Differenza ($\setminus$):

   • $A \setminus B$: Insieme degli elementi che appartengono a $A$ ma non a $B$.

7. Complemento:

   • $\overline{A}$ o $A^c$: Insieme degli elementi che non appartengono ad $A$, relativamente all'universo considerato.

8. Prodotto Cartesiano ($\times$):

   • $A \times B$: Insieme delle coppie ordinate $(a, b)$ con $a \in A$ e $b \in B$.

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Proprietà Importanti

• Leggi di De Morgan:

  • $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
  • $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

• Proprietà di Inclusione:

  • $A \cap B \subseteq A$ e $A \cap B \subseteq B$
  • $A \subseteq A \cup B$ e $B \subseteq A \cup B$

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Esempio Pratico

Se $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{3, 4\}$:

• $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$
• $A \cap B = \{3\}$
• $A \setminus B = \{1, 2\}$
• $B \setminus A = \{4\}$

Se hai domande o vuoi approfondire, chiedi pure! 😊

matematica esercizi con espressioni e soluzioni

 matematica esercizi con espressioni e soluzioni

Ecco alcuni esercizi sulle espressioni matematiche con le relative soluzioni:

Esercizio 1:

Espandi e semplifica l'espressione:

$$3(x + 4) - 5(x - 2)$$

Soluzione:

1. Espandi i termini:

$$3(x + 4) = 3x + 12$$ $$-5(x - 2) = -5x + 10$$

2. Unisci i termini simili:

$$3x + 12 - 5x + 10 = (3x - 5x) + (12 + 10) = -2x + 22$$

Risultato:

$$-2x + 22$$

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Esercizio 2:

Risolvete l'equazione:

$$2(x - 3) + 4 = 3x - 1$$

Soluzione:

1. Espandi i termini:

$$2(x - 3) = 2x - 6$$

2. Sostituisci nell'equazione:

$$2x - 6 + 4 = 3x - 1$$

3. Semplifica:

$$2x - 2 = 3x - 1$$

4. Porta tutte le variabili su un lato e i numeri sull'altro:

$$2x - 3x = -1 + 2$$ $$-x = 1$$

5. Dividi per -1:

$$x = -1$$

Risultato:

$$x = -1$$

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Esercizio 3:

Semplifica l'espressione:

$$\frac{2x + 6}{2} - \frac{4x - 8}{4}$$

Soluzione:

1. Semplifica ciascun termine:

$$\frac{2x + 6}{2} = x + 3$$ $$\frac{4x - 8}{4} = x - 2$$

2. Sostituisci e semplifica:

$$(x + 3) - (x - 2) = x + 3 - x + 2 = 5$$

Risultato:

$$5$$

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Spero che questi esercizi ti siano utili! Se vuoi altri esempi o esercizi su specifici argomenti, fammi sapere.