matematica - gli insiemi

 matematica - gli insiemi

Ecco una spiegazione chiara e completa sugli insiemi in matematica, con simboli, caratteristiche e esempi utili.

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📚 COSA SONO GLI INSIEMI?

Un insieme è una collezione ben definita di oggetti, chiamati elementi, che condividono una caratteristica comune.

Esempio:
L’insieme delle vocali italiane:
$A = \{a, e, i, o, u\}$

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🧩 SIMBOLI DEGLI INSIEMI

Simbolo	Significato	Esempio
∈	“appartiene a”	$a \in A$ (a appartiene all'insieme A)
∉	“non appartiene a”	$z \notin A$ (z non è una vocale)
⊂	sottoinsieme (non uguale)	$\{a, e\} \subset A$
⊆	sottoinsieme (possibilmente uguale)	$A \subseteq A$
⊄	non sottoinsieme	$\{1, 2\} \not\subset \{a, b\}$
∪	unione	$A \cup B$
∩	intersezione	$A \cap B$
\	differenza	$A \setminus B$
∅	insieme vuoto	$C = \emptyset$
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ	insiemi numerici standard	ℕ = naturali, ℝ = reali, ecc.

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🧠 CARATTERISTICHE DEGLI INSIEMI

1. Ben definiti: ogni elemento è chiaramente incluso o escluso.

   • ✅ $\{2, 4, 6\}$ è un insieme ben definito.

   • ❌ $\{\text{belle canzoni}\}$ non è ben definito (soggettivo).

2. Elementi distinti: ogni elemento appare una sola volta.

   • $\{1, 2, 2, 3\}$ = $\{1, 2, 3\}$

3. Ordine irrilevante:

   • $\{a, b\} = \{b, a\}$

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🧮 RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME

1. Elencazione (roster):

$A = \{1, 2, 3\}$

2. Proprietà caratteristica (descrizione):

$B = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\} \Rightarrow \{0, 1, 2, 3, 4\}$

3. Diagrammi di Venn:

Utilizzati per visualizzare relazioni tra insiemi (intersezioni, unioni, differenze).

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✍️ ESEMPI CONCRETI

🔹 Insiemi numerici:

• ℕ = {0, 1, 2, 3, …} → numeri naturali

• ℤ = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …} → interi

• ℝ = numeri reali (inclusi razionali e irrazionali)

🔹 Operazioni tra insiemi:

Siano:
$A = \{1, 2, 3\}, \quad B = \{3, 4, 5\}$

• Unione: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

• Intersezione: $A \cap B = \{3\}$

• Differenza: $A \setminus B = \{1, 2\}$

• Sottoinsieme: $\{1, 2\} \subset A$

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✅ RIASSUNTO FINALE

• Gli insiemi sono fondamentali in matematica.

• Si rappresentano con parentesi graffe { } e possono essere descritti per elencazione o proprietà.

• I simboli sono essenziali per operare e confrontare insiemi.

• Sono alla base della logica, dell’algebra, delle funzioni e della probabilità.

schema per calcolare la lunghezza di segmenti

 

📏 Metodi per calcolare la lunghezza di un segmento

1️⃣ Se si conoscono le coordinate dei punti estremi

Se un segmento ha estremi $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$, la sua lunghezza si calcola con la formula della distanza tra due punti:

$$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Esempio:
Se $A(1,2)$ e $B(4,6)$, allora:

$$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$

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2️⃣ Se il segmento è su una retta orizzontale o verticale

• Retta orizzontale → $AB = |x_2 - x_1|$
• Retta verticale → $AB = |y_2 - y_1|$

Esempio:

• Se $A(2,5)$ e $B(7,5)$, allora $AB = |7-2| = 5$
• Se $A(3,1)$ e $B(3,6)$, allora $AB = |6-1| = 5$

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3️⃣ Se il segmento è parte di un triangolo rettangolo

Se un segmento è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, si può usare il Teorema di Pitagora:

$$AB^2 = AC^2 + CB^2$$

Dove $AB$ è il segmento da trovare, e $AC$ e $CB$ sono i cateti del triangolo.

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📌 Riassunto delle Formule

Situazione	Formula
Generale (coordinate)	$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Segmento orizzontale	( AB =
Segmento verticale	( AB =
Teorema di Pitagora	$AB = \sqrt{AC^2 + CB^2}$

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tutorial addizione e sottrazione in colonna

ecco un video tutorial sull'addizione e sottrazione in colonna

 

esercizi svolti dimostrazioni assiomi geometria

 Ecco alcuni esercizi svolti con dimostrazioni sugli assiomi delle rette e semirette in geometria.

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Esercizio 1: Esistenza e unicità della retta passante per due punti

📌 Enunciato: Dimostrare che per due punti distinti passa una e una sola retta.

✍ Dimostrazione:

• Consideriamo due punti distinti $A$ e $B$.
• Per l'assioma di appartenenza, esiste almeno una retta $r$ che contiene entrambi i punti $A$ e $B$.
• Supponiamo per assurdo che esistano due rette diverse $r$ e $s$ passanti per $A$ e $B$.
• Per l'assioma di unicità, due rette distinte non possono avere più di un punto in comune.
• Ma $A$ e $B$ appartengono a entrambe, quindi $r = s$.
  ✔ Conclusione: La retta che passa per due punti distinti è unica.

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Esercizio 2: Proprietà di una semiretta

📌 Enunciato: Dati tre punti allineati $A$, $B$, $C$, con $B$ tra $A$ e $C$, dimostrare che esiste una semiretta con origine in $A$ che contiene $B$ e $C$.

✍ Dimostrazione:

• Per definizione, una semiretta è l’insieme dei punti di una retta che stanno da una stessa parte rispetto a un punto detto origine.
• Poiché $A$, $B$, $C$ sono allineati, esiste una retta $r$ che li contiene tutti.
• Consideriamo la semiretta con origine in $A$ che passa per $B$.
• Poiché $C$ è dopo $B$ sulla stessa retta, esso appartiene alla stessa semiretta.
  ✔ Conclusione: Esiste una semiretta con origine in $A$ che passa per $B$ e $C$.

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Esercizio 3: Due rette incidenti hanno un solo punto in comune

📌 Enunciato: Dimostrare che se due rette si intersecano, lo fanno in un unico punto.

✍ Dimostrazione:

• Siano $r$ e $s$ due rette nel piano che si intersecano.
• Per definizione di rette incidenti, esiste almeno un punto $P$ appartenente a entrambe.
• Supponiamo per assurdo che $r$ e $s$ abbiano due punti distinti $P$ e $Q$ in comune.
• Per l'assioma di unicità della retta per due punti, esiste una sola retta passante per $P$ e $Q$.
• Quindi $r$ e $s$ dovrebbero coincidere, contraddicendo l’ipotesi che siano rette distinte.
  ✔ Conclusione: Due rette incidenti si intersecano in un solo punto.