geometria - le rette

geometria - le rette

Fra i sottoinsiemi  del piano (cioè le figure piane)  vi sono insiemi di punti  di tipo particolare che chiameremo rette.

Assumiamo  come primitivo il concetto di retta. Le proprietà che caratterizzano le rette  sono fissate nei postulati che seguono.
Prima di enunciare tali postulati  precisiamo che  mentre i punto si indicano con le lettere maiuscole (A B C ....)  le rette si indicano generalmente con le lettere minuscole (a b c .....)

1° postulato

Dati due punti A e B  esiste una e una sola retta che li contiene entrambi

La retta individuata dai due punti  A e B  viene anche detta contingente i punti A e B  o retta AB.
Il precedente postulato  si suole enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una sola retta

 Dal precedente postulato  consegue il

corollario

Due rette distinte non possono avere più di un punto in comune (altrimenti coinciderebbero)
Due rette aventi un punto P in comune si dicono incidenti. Il punto P si chiama punto di incidenza o di intersezione o di incontro delle due rette.

Dati più punti  se accede che appartengono tutti alla stessa retta allora i punti si dicono allineati. Il precedente postulato ci garantisce che i punto sono sempre allineati

geometria le figure uguali - il movimento

Le figure uguali - il movimento

I ragionamento di figure uguali è complesso  se lo si vuole trattare da un punto di vista razionale.

Nel momento in cui si parla di movimento dei corpi bisogna precisare la differenza tra i corpi rigidi e quelli deformabili. Si tratta di movimenti  effettuati con corpi rigidi nel piano  e nello spazio (movimenti rigidi). Anche le figure geometriche vanno pensati come corpi rigidi che possono essere assoggettate a movimenti  che le trasferiscono da una zona ad un'altra  del piano e dello spazio.
L'idea di movimento (rigido) di una figura geometria viene introdotta come concetto primitivo.

Diremo uguali due figure quando con un movimento è possibile portare una di esse a coincidere  punto per punto  con l'altra

Ciò significa che  a movimento compiuto ogni punto A della prima figura F si identifica  con un punto  A' della seconda figura F'  e che ogni punto B' della F' coincide con un punto B della F. I punti A;B....... della figura F si dicono corrispondenti od omologhi rispettivamente dei punti A';B' della figura F'.

POSTULATO. l'uguaglianza delle figure gode delle tre seguenti proprietà :

Ogni figura è uguale a se stessa (proprietà riflessiva dell'uguaglianza);

Se una prima figura è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale alla prima (proprietà simmetrica dell'uguaglianza);

Se una prima figura è uguale ad una seconda e questa è uguale ad una terza allora la prima è uguale alla terza (proprietà transitiva dell'uguaglianza).

Nella geometria piana i possibili movimenti dovrebbero essere soltanto quelli  che consentono di spostare una figura  facendola strisciare sul piano  cui essa appartiene  cioè quelli che fanno muovere  il piano su se stesso.
Tuttavia introduce un'eccezione  il ribaltamento del piano  cioè quel movimento che si adopera ogni volta che si volta la pagina di un libro.

formule - addizione e sottrazione letterale

formule - addizione e sottrazione letterale

(+ a) + (+b) = a + b

(+ a) + (- b) = a - b = - (b - a)

(- a) + (- b) = - (a + b)

(+ a) - (- b) = a + b

(- a) - (- b) = - a + b = - (a - b)

a +  b  = a  + b
m   m    m    m

geometria - gli insiemi

geometria - gli insiemi

Nella matematica si usa il vocabolo insieme per indicare un qualunque raggruppamento di enti comunque scelti. Ad esempio si parla dell'insieme dei numeri naturali, dell'insieme dei  triangoli , dell'insieme dei punti di un cerchio, dell'insieme dei vertici di un poligono.
Gli enti che, nel loro complesso formano  un insieme si dicono  elementi di quell'insieme.
Un insieme si dice finito se l'elenco  dei suoi insiemi ha un termine, infinito in caso contrario. Ad esempio  è finito l'insieme dei vertici di un poligono mentre è infinito  l'insieme dei triangoli.
Un insieme  finito può venire indicato  racchiudendo tra i due segni di parentesi graffa gli elementi che lo contengono

A = {1,3,5}

Noi intendiamo significare che un insieme  A  ha per elementi  i primi tre numeri naturali dispari.

Fra gli insiemi  si considera anche quello privo di elementi  o insieme vuoto  che viene indicato con il simbolo
Ø Ad esempio è vuoto un insieme di triangoli aventi due angoli retto oppure l'insieme dei punti comuni a due circonferenze concentriche di raggio diverso.

Se consideriamo  l'insieme T dei triangoli  e l'insieme P dei poligoni ci accorgiamo che si verifica una situazione particolare: poiché ogni triangolo è pure un poligono si ha che ogni elemento di T è anche elemento di P. Si dice che T è sottoinsieme di P ovvero T è incluso in P.

In generale un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B se ogni elemento di A è pure elemento di B. Ad esempio  l'insieme 
{2,4} è incluso  nell'insieme {2,4,6,8}l'insieme delle lettere della parola RAMO  è  sottoinsieme delle lettere della parola AMORE.