FIBONACCI

Fra le numerosi questioni  matematiche  e algebriche di cui si occupò Fibonacci  quella delle successioni merita  un particolare cenno.
 Anche perché  su di esse Fibonacci costruì  un interessante problema quello dei conigli
Supponiamo, diceva Fibonacci, diceva di  chiudere in un'apposita gabbia  una coppia di conigli maschio e femmina  in modo che generino altri  conigli supponiamo ancora che i figli raggiungano la maturità sessuale per  generare all'età di due mesi   e che riproducano a loro volta una nuova coppia di conigli maschio e femmina e che anche questi generino  a loro volta  una coppia simile  alla fine di ogni mese successivo.
se nessun coniglio  muore quante coppie di conigli  ci saranno alla fine dell'anno ?

seguiamo la soluzione attraverso un grafico 

Fibonacci diceva che seguendo la coppia iniziale A  del mese di gennaio  in febbraio ci saranno due coppie  A E B  in marzo ci sarà una nuova coppia  C nata dalla A    e le due precedenti
In aprile le cose si complicano  sono trascorsi due mesi  e anche la coppia B comincia a prolificare.
Avremo allora oltre alle tre copie di marzo la D nata dalla A  e la E  nata dalla B.
In maggio  la situazione diventa ancora più complessa  perché anche la C la copia nata in marzo comincia a prolificare 
alle cinque  coppie precedenti  si aggiungono anche la F dalla A  la G nata dalla B e la H nata dalla C
Il ragionamento continua in modo analogo  per il numero di coppie nel mese di giugno  di luglio e così via fino alla fine dell'anno il numero di copie nei mesi considerati Fibonacci lo inscrive in una sequenza

 1,2,3,5,8,13 .....

non è difficile  scorgere tra questi numeri  una legge che ne regola la formazione  dal numero 3 in poi  i successivi  sono dati dalla somma dei due numeri precedenti

1, 2,    3              5                   8            13
      2+1    2+3           3+5             5+8

di questo passo è facile individuare il numero delle coppie  nei mesi successivi a giugno

in luglio              8+13  =21
in agosto            13+21 = 34
in settembre       21+34 = 55

e così via fino a dicembre

alla fine dell'anno ci saranno 233 coppie di conigli 
Evidentemente una volta scoperta la legge di composizione  la successione si può estendere all'infinito
Fibonacci non approfondì  in seguito il problema delle sequenze  di numeri si dovette giungere al XIX secolo perché i matematici  più noti approfondissero  il tema delle successioni  e dele loro proprietà formali.
Uno di qesti un certo Lucas fece studi seri e profondi sulle sequenze (conosciute come serie di Fibonacci)
che iniziano  con due numeri interi qualsiasi  e in cui  la legge di formazione prevede che ogni numero successivo sia la somma dei due precedenti
Le sere di Fibonacci hanno colpito  la fantasia dei matematici  e di appassionati che hanno cercato di scoprirvi proprietà e teoremi nascosti 
recentemente le serie di Fibonacci  hanno rivelato la loro utilità nei moderni metodi di programmazione elettronica soprattutto nella selezione dei dati  nel recupero delle informazioni  e nella generazione di numeri casuali

gioco con i numeri - i numeri perfetti

Chi ha dimestichezza con le proprietà dei numeri può  tentare di risolvere questo gioco.

cercare tre numeri interi e positivi la cui somma risulti uguale al loro prodotto 

una soluzione può essere questa

1X2X3=1+2+3= 6

si noti che i numeri 1,2,3, sono anche divisori di 6 che costituisce la loro somma

si continui il gioco  trovando quei numeri  dopo il 6 che goda della stessa proprietà.
Questi numeri si chiamano  "numeri perfetti"


Fra i matematici  antichi Euclide famoso soprattutto per i suoi Elementi di geometria  e vissuto ad Alessandria d' Egitto  durante il periodo della sua massima attività (306 -283 a.C.)  riuscì a elaborare la folrmula che sintetizzasse la struttura formale dei numeri perfetti

N= 2^n-1*(2)^n  -1

dove il secondo fattore cioè (2)^n  - 1 deve essere un fattore primo cioè divisibile solo per se stesso e 1. quindi bisogna dare a n un valore per cui  (2)^n  -1  è primo

giochi con i numeri - IL RISULTATO è 100

Di certo i numeri servono all'uomo prima di tutto per  risolvere problemi pratici  ma è bello anche pensare che con i numeri può anche  divertirsi.
ecco  uno dei giochi con i numeri assai popolare

si prenda l'insieme delle cifre  1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Il gioco consiste nell'inserire  tra questi numeri  dei simboli di operazioni matematiche  in modo tale che  l'espressione si uguale a 100

qui di seguito una soluzione

1+2+3+4+5+6+7+ (8X9) = 100

chiaramente la posizione dei numeri  deve rimanere tale

noi in questa espressione ci siamo avvalsi della moltiplicazione ma potrebbe essere divertente trovare soluzioni utilizzando solamente addizioni e sottrazioni anche abbinando i numeri  ma senza variare l'ordine 

12+3-4+5+67+8+9= 100

Oppure un altro gioco potrebbe essere quello  di utilizzare i numeri  in ordine decrescente 9,8,7,6,5,4,3,2,1 cercando di utilizzare meno possibile i simboli  simboli + e -

i numeri - un pò di storia

fina dai primi anni di scuola  a tutti è stato insegnato il meccanismo di calcolo  con i numeri interi  le frazioni i numeri negativi ecc.
ma forse pochi si sono chiesti  che cosa sono o cosa rappresentano i numeri ?
In prima approssimazione possiamo dare questa definizione
i numeri sono dei simboli che l'uomo  ha inventato  per molteplici usi forse quello più immediato è contare  gli elementi di vari insiemi di oggetti per esempio  2 pecore 2 sassi
Cioè sono costruzioni mentali  che possono indicare  oggetti materiali senza avere relazione con la qualità  o caratteristiche
Nel corso della storia sono stati adottati  presso i vari popoli  diversi simboli  per rappresentare graficamente  i numeri e le operazioni
per esempio i romani per scrivere 5 usavano il simbolo V
ma la simbolizzazione indo-arabica sostituì quella romana. E ciò grazie a un matematico pisano Fibonacci figlio di un mercante che ebbe nodo seguendo il padre di vedere come contavano gli arabi. Così egli raccolse in un libro  le conoscenze di algebra matematica e geometria.
In occidente tale sistema non venne accolto favorevolmente molti si opposero alla nuova moda. Ma ben presto prese piede perché era economico e semplice
Rese più semplici i concetti di matematica ed era anche più facile scrivere i numeri
rese più chiare per esempio le potenze che con i numeri romani risultavano più complicate da spiegare

LA MOLTIPLICAZIONE CASI PARTICOLARI

Ecco i casi particolari :

• il prodotto di un numero per 10 per 100 per 1000 ecc si ottiene scrivendo  alla sua uno due o tre  zeri

25  x 10  = 250        25 x 100 = 2500   25 x 1000 = 25000

• il prodotto di due o più fattori, uno o più dei quali  termini con degli zeri  si esegue facendo il prodotto dei numeri  senza tener conto degli zeri finali  e facendo poi  seguire il risultato ottenuto  da tanti zeri quanti sono quelli finali che figurano complessivamente nei fattori

40  x 16 = (4x16) x 10 = 64 x10 = 640

• nella moltiplicazione di  un numero per 9  basta scrivere alla destra del numero uno  sero  e dal risultato ottenuto sottrarre il numero stesso 

75  x9 = 75  x (10-1) = 75 x 10 - 75 = 750 -75 = 675

• nella moltiplicazione di  un numero per 11 basta scrivere alla destra del numero uno zero  ed aggiungere  al risultato ottenuto  il numero dato 

si ha infatti 

47  x 11 = 47 x (10 +1) = 47 x 10  + 47 =  470 + 47 = 517

il che si ottiene rapidamente scrivendo la moltiplicazione sotto forma di

47x 11 = 470 + 47 =517

LA PROPRIETA' DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE

sia data da eseguire l'operazione

(7+4+3) x5

dovremo evidentemente fare prima l'addizione e moltiplicare poi il risultato ottenuto per 5 cioè

(7+4+3) x5 = 14x5= 70

ma allo stesso risultato si perviene  nel modo seguente

(7+4+3) x5 = (7x5) + (4x5) + (3x5) = 35+ 20 +15= 70

si ha cioè la seguente proprietà

per moltiplicare una somma indicata per un numero si può moltiplicare  ciascun addendo  della somma per quel numero ed addizionare poi i prodotti così ottenuti 
cioè la proprietà distributiva

allo stesso modo invece di scrivere

(13-6) x 5 = 7x5

oppure

(13-6) x5 = 13 x5 -6x5 = 65-30 = 35

per moltiplicare  una differenza indicata per un numero si può moltiplicare il minuendo  e il sottraendo  per quel numero  e fare poi la differenza fra il primo  ed il secondo dei prodotti così ottenuti

raccoglimento a fattor comune

supponiamo che la somma si a costituita da più prodotti che abbiano un fattore comune  ad esempio

(5x4) + (3x4) + (7x4) =  20+12 +24 = 60

hanno tutti il fattore comune 4

lo stesso risultato si potrà ottenere  raccogliendo  come si dice il 4 a fattor comune  eseguendo l'operazione nel seguente modo 

((5+3+7) x4 = 15 x4 = 60

LA PROPRIETA' DISSOCIATIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE

dato un prodotto

8x45 = 360

se ad uno dei fattori per esempio  a 45 sostituiamo  i due fattori  5 e 9  di cui esso è il prodotto  avremo
8x5x9 = 360

perciò

In un prodotto di più fattori ad uno di essi si possono sostituire due o più altri purchè il loro prodotto sia uguale  al fattore considerato

la proprietà dissociativa  è utile perché facilita il calcolo mentale 
dovendosi moltiplicare i due numeri 35 x16 si opera mentalmente nel modo seguente

35x16 = 35 x2 x8 = 70 x8 = 560