ripasso aritmetica
i numeri razionali assoluti sono tutti numeri interi e frazionari
ADDIZIONE
a) proprietà commutativa : la somma di più numeri non cambia se si cambia il numero degli addendi
b) proprietà associativa : la somma di più numeri non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma
c) proprietà dissociativa: La somma di più numeri non cambia se un suo addendo viene sostituito con due o più altri addendi la cui somma sia uguale all'addendo sostituito.
La somma di qualsiasi numero e dello zero è uguale al numero considerato.
MOLTIPLICAZIONE
a) proprietà commutativa : Il prodotto di due o più numeri non dipende dall'ordine dei fattori
b) proprietà associativa : il prodotto di due o più numeri non cambia se a due o a più fattori si sostituisce il loro prodotto
c) proprietà dissociativa : il prodotto di più numeri non cambia se un fattore si sostituisce con due o più fattori il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito
d) proprietà distributiva : Il prodotto di una somma per un numero è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ordinatamente gli addendi della somma data per quel numeri
EQUIVALENZE
unità di misura
derivate dal metro
Mm miriametro 10.000 metri
km chilometro 1.000 metri
hm ettometro 100 metri
dam decametro 10 metri
m metro 1 metro
dm decimetro 0,1 metro
cm centimetro 0.01 metro
mm millimetro 0,001 metro
per la superficie diventeranno km^2 , m^2 ecc. nei solidi Km^3 m^3 ecc.
misure agrarie
ha ettaro 10.000 metri quadrati
a ara 100 metri quadrati
ca centiara 1 metro quadrato
derivati dal litro
kl chilolitro 1000 litri
hl ettolitro 100 litri
dal decalitro 10 litri
l litro 1 litro
dl decilitro 0,1 litro
cl centilitro 0,01 litro
ml millilitro 0.001 litro
derivati dal grammo
t tonnellata 1000.000 grammi
q quintale 100.000 grammi
Mg miriagrammo 10.000 grammi
kg chilogrammo 1000 grammi
hg ettogrammo 100 grammi
dag decagrammo 10 grammi
g grammo 1 grammo
dg decigrammo 0,1 grammi
cg centigrammo 0,01 grammi
mg millligrammo 0,001 grammi
peso specifico
Ps = P:V peso specifico = peso : volume
P= Ps x V peso = peso specifico x volume
V= P: Ps volume = perso : peso specifico
i numeri primi sono numeri divisibili per 1 o per se stessi
scomporre un numero in fattori primi significa cercare i fattori primi contenuti esattamente nel numero dato e scrivere il numero in stesso come prodotto di divisori primi
un numero è divisibile per un altro quando, scomposti entrambi in fattori primi il primo contiene tutti i fattori del secondo ognuno con esponente maggiore o uguale a quello con cui figura nel secondo
MCD = MASSIMO COMUN DIVISORE
il più grande numero contenuti in due o più numeri dati si trova scomponendo in fattori primi moltiplicando tra loro i fattori comuni con il minimo esponente
MCM = MINIMO COMUNE MULTIPLO
il minor numero che contiene tutti i numeri dati si calcola scomponendo i numero in fattori primi e si moltiplicano fra lor i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente
UNITA' FRAZIONARIA
ciascuna delle parti ottenute dividendo l'unità intera in un certo numero di parti
il numero delle parti prese in considerazione è numeratore
il numero delle parti in cui è divisa l'unità è denominatore
un unità frazionaria con stesso numeratore e denominatore è una parte intera
frazione propria il numeratore è minore del denominatore
frazione improprio il numeratore è maggiore del denominatore
frazione apparente il numeratore è multiplo del denominatore
Il valore di una frazione non cambia se moltiplichiamo o dividiamo i due termini per uno stesso numero
venerdì 26 maggio 2017
mercoledì 29 marzo 2017
gli insiemi matematici scuola superiore
gli insiemi matematici scuola superiore
Concetto di insieme
Sono fondamentali per la matematica moderno sia il concetto di insieme si a quello di elemento dell'insieme che noi assumiamo come concetti primitivi ossia non li definiamo in quanto costituiscono per noi il punto di partenza per definirne altri. Tuttavia riteniamo utile illustrare i due concetto con le parole stesse usate da Cantor : con i nome di insieme intendiamo ogni raccolta classe aggregato totalità I di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: Tali oggetti vengono chiamati gli elementi di I.
Gli elementi di un insieme (astratti o concreti) possono essere di natura qualsiasi purchè ben determinati; cioè che si sappia decidere senza ambiguità se un elemento appartiene o no all'insieme considerato: Pertanto un insieme reterà individuato quando si conoscono singolarmente gli elementi o perchè effettivamente elencati o perché assegnati mediante una proprietà caratteristica.
oppure può essere individuato assegnando la proprietà caratteristica di suoi elementi (numeri naturali maggiori di 2 e minori di 7)
I = 2< x < 7
(che si legge insieme formato dagli elementi x tali che siano compresi tra 2 e 7 )
non sarebbe esauriente perché non è indicato l'ambiente in cui bisogna trarre gli elementi x infatti x potrebbe indifferentemente rappresentare un numero naturale o solamente pari o solamente dispari o un numero razionale ecc.
La totalità degli elementi da cui bisogna trare quelli occorrenti per formare un insieme si dice insieme ambiente o insieme universo che indicheremo con U
E' molto comoda la rappresentazione grafica degli insiemi realizzata con i diagrammi di Venn secondo cui un insieme è raffigurato da una linea chiusa indicante I
Concetto di insieme
Sono fondamentali per la matematica moderno sia il concetto di insieme si a quello di elemento dell'insieme che noi assumiamo come concetti primitivi ossia non li definiamo in quanto costituiscono per noi il punto di partenza per definirne altri. Tuttavia riteniamo utile illustrare i due concetto con le parole stesse usate da Cantor : con i nome di insieme intendiamo ogni raccolta classe aggregato totalità I di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: Tali oggetti vengono chiamati gli elementi di I.
Gli elementi di un insieme (astratti o concreti) possono essere di natura qualsiasi purchè ben determinati; cioè che si sappia decidere senza ambiguità se un elemento appartiene o no all'insieme considerato: Pertanto un insieme reterà individuato quando si conoscono singolarmente gli elementi o perchè effettivamente elencati o perché assegnati mediante una proprietà caratteristica.
I = 2< x < 7
(che si legge insieme formato dagli elementi x tali che siano compresi tra 2 e 7 )
non sarebbe esauriente perché non è indicato l'ambiente in cui bisogna trarre gli elementi x infatti x potrebbe indifferentemente rappresentare un numero naturale o solamente pari o solamente dispari o un numero razionale ecc.
La totalità degli elementi da cui bisogna trare quelli occorrenti per formare un insieme si dice insieme ambiente o insieme universo che indicheremo con UE' molto comoda la rappresentazione grafica degli insiemi realizzata con i diagrammi di Venn secondo cui un insieme è raffigurato da una linea chiusa indicante I
lunedì 27 marzo 2017
monomi
Si dice monomio qualunque espressione algebrica in cui non figurano addizioni o sottrazioni
per esempio
10 a^3b e (2)a(+5)b
vediamo che ogni monomio si può presentare come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze di basi diverso.
2a^2b^2c
In questo caso il monomio si dice ridotto alla forma normale.
Si dice coefficiente di un monomio ridotto alla forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti.
Un monomio ridotto in forma normale si dice intero se le lettere non figurano al denominatore cioè se tutte le sue lettere hanno esponente positivo in caso contrario si dice frazionario
monomi interi
5a^2 - 3 x^2yz
4
monomi frazionari
2a^2 - 3y
b^3 4x
si dice grado di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere
si ricordi che ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1
7ab^2c^3 è 1+2+3 = 6
Il grado ora definito si dice grado complessivo.
Si dice invece grado di un monomio intero rispetto ad una lettera l'esponente di quella lettera
per esempio
3 a^3b^2c^
è di grado 3 rispetto alla lettera a
Se in un monomio manca una data lettera si dice di grado 0 rispetto a quella lettera
per esempio
3ab^2c^0 è zero rispetto alla lettera c che corrisponde a 1
per esempio
10 a^3b e (2)a(+5)b
vediamo che ogni monomio si può presentare come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze di basi diverso.
2a^2b^2c
In questo caso il monomio si dice ridotto alla forma normale.
Si dice coefficiente di un monomio ridotto alla forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti.
Un monomio ridotto in forma normale si dice intero se le lettere non figurano al denominatore cioè se tutte le sue lettere hanno esponente positivo in caso contrario si dice frazionario
monomi interi
5a^2 - 3 x^2yz
4
monomi frazionari
2a^2 - 3y
b^3 4x
si dice grado di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere
si ricordi che ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1
7ab^2c^3 è 1+2+3 = 6
Il grado ora definito si dice grado complessivo.
Si dice invece grado di un monomio intero rispetto ad una lettera l'esponente di quella lettera
per esempio
3 a^3b^2c^
è di grado 3 rispetto alla lettera a
Se in un monomio manca una data lettera si dice di grado 0 rispetto a quella lettera
per esempio
3ab^2c^0 è zero rispetto alla lettera c che corrisponde a 1
Espressioni algebriche
Espressioni algebriche
estendendo una locuzione introdotta nell' aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme di qualunque dei numeri relativi rappresentanti anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni. Un'espressione algebrica si dice razionale quando le operazioni da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione.
Il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono. Razionali, perché quando si opera con s su numeri razionali interi e frazionari si ottengono sempre numeri razionali. Un'espressione si dice intera se fai segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello di divisione in caso contrario l'espressione si dice frazionaria.
Attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire a quella lettera il numero dato. Quando le lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazioni indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice per valore numerico delle espressioni algebrica per i dati valori delle lettere. Naturalmente si suppone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibile altrimenti le espressioni perde di significato
Si consideri l'espressione
-3a + 2b^2 - 5 c
e si voglia calcolare il valore numerico attribuendo alle lettere i valori
a = - 2 b= + 1 c = - 3
3 4
facendo la sostituzione
- 3 (-2) + 2(+1)^2 - 5(-3)
3 4
facendo i calcoli
6 + 2 + 15= 359
9 4 36
estendendo una locuzione introdotta nell' aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme di qualunque dei numeri relativi rappresentanti anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni. Un'espressione algebrica si dice razionale quando le operazioni da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione.
Il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono. Razionali, perché quando si opera con s su numeri razionali interi e frazionari si ottengono sempre numeri razionali. Un'espressione si dice intera se fai segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello di divisione in caso contrario l'espressione si dice frazionaria.
Attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire a quella lettera il numero dato. Quando le lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazioni indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice per valore numerico delle espressioni algebrica per i dati valori delle lettere. Naturalmente si suppone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibile altrimenti le espressioni perde di significato
Si consideri l'espressione
-3a + 2b^2 - 5 c
e si voglia calcolare il valore numerico attribuendo alle lettere i valori
a = - 2 b= + 1 c = - 3
3 4
facendo la sostituzione
- 3 (-2) + 2(+1)^2 - 5(-3)
3 4
facendo i calcoli
6 + 2 + 15= 359
9 4 36
lunedì 23 gennaio 2017
frazioni decimali e numeri decimali
frazioni decimali e numeri decimali
FRAZIONI DECIMALI
Una frazione il cui denominatore sia 10 100 1000 ecc. cioè una potenza di 10 si dice frazione decimale. sono ad esempio frazioni decimali
9 13
10 100
le frazioni decimali
1 1
10 100
si dicono rispettivamente unita frazionarie decimali del primo ordine o dei decimi del secondo ordine o dei centesimi ecc.
e si indicano come voi già sapete con le scritture
0,1 0,01 ecc.
NUMERI DECIMALI
Poiché una frazione rappresenta il quoto della divisione del suo numeratore per il denominatore
3273 = 3273 :100 = 32,73
100
cioè
ogni frazione decimale si può porre sotto forma di numero decimale scrivendo il solo numeratore separando in esso con la virgola partendo da destra verso sinistra tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore.
Se è necessario si pongono degli zeri alla sinistra del numeratore. Ciò quando il numero delle cifre del numeratore e minore di quelle del denominatore si ha per esempio
37 = 0,037
1000
Un numero decimale è uguale alla frizione avente per numeratore un numero intero ottenuto sopprimendo in esso la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quanti sono le cifre decimali del numero decimale considerato.
3,72 = 372
100
FRAZIONI DECIMALI
Una frazione il cui denominatore sia 10 100 1000 ecc. cioè una potenza di 10 si dice frazione decimale. sono ad esempio frazioni decimali
9 13
10 100
le frazioni decimali
1 1
10 100
si dicono rispettivamente unita frazionarie decimali del primo ordine o dei decimi del secondo ordine o dei centesimi ecc.
e si indicano come voi già sapete con le scritture
0,1 0,01 ecc.
NUMERI DECIMALI
Poiché una frazione rappresenta il quoto della divisione del suo numeratore per il denominatore
3273 = 3273 :100 = 32,73
100
cioè
ogni frazione decimale si può porre sotto forma di numero decimale scrivendo il solo numeratore separando in esso con la virgola partendo da destra verso sinistra tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore.
Se è necessario si pongono degli zeri alla sinistra del numeratore. Ciò quando il numero delle cifre del numeratore e minore di quelle del denominatore si ha per esempio
37 = 0,037
1000
Un numero decimale è uguale alla frizione avente per numeratore un numero intero ottenuto sopprimendo in esso la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quanti sono le cifre decimali del numero decimale considerato.
3,72 = 372
100
mercoledì 13 luglio 2016
Misura del tempo
misura del tempo
la misura del tempo è cosa famigliare a tutti. Tutti avete idea di cosa siano il secondo il minuto l'ora il giorno la settimana il mese l'anno il secolo.
ogni intervallo di tempo si può misurare nel modo più opportuno talora conviene usare i giorni altre volte le ore spesso i secondi.
Comunque tutte le misure di tempo possono essere espresse in secondi.
Come mai questa scelta ? Forse il secondo è comodo perché no è molto diverso dall'intervallo di due battiti del cuore , ma la circostanza più importante è stata tratta dalle misurazioni del movimento del sole.
Gli astronomi hanno calcolato con grande precisione il tempo medio che passa tra l'istante esatto in cui il sole raggiunge la posizione più alta e quello in cui ritorna nella stessa posizione.
hanno diviso questo intervallo di tempo in 86.400 parti e scelto una di queste parti come unità di misura per il tempo. Questa unità di misura è stata chiamata secondo.
Il tempo è veramente prezioso per tutto.
Questi orologi si chiamano cronometri.
e in 1/4 di minuto?
come potete anche scrivere 63 secondi ? e 125 secondi?
Misurate in una giornata di sole la vostra ombra ad ogni ora e vedrete riportando i risultati su un quaderno che non sarà sempre uguale
In quale ora del giorno sarà più corta ? e in quale più lunga ?
Se avete un bastone disponetelo verticalmente in un posto illuminato tutto il giorno e osservate la sua ombra
Tracciate con il gesso una line di ombra del bastone una volta gli antichi misuravano il tempo in questo modo
Ad ogni linea corrisponde un'ora.
Se poi suddividete gli intervalli tra un'ora e l'altra avrete mezz'ore e quarti d'ora questo strumento viene chiamata meridiana
la misura del tempo è cosa famigliare a tutti. Tutti avete idea di cosa siano il secondo il minuto l'ora il giorno la settimana il mese l'anno il secolo.
ogni intervallo di tempo si può misurare nel modo più opportuno talora conviene usare i giorni altre volte le ore spesso i secondi.
Comunque tutte le misure di tempo possono essere espresse in secondi.
Come mai questa scelta ? Forse il secondo è comodo perché no è molto diverso dall'intervallo di due battiti del cuore , ma la circostanza più importante è stata tratta dalle misurazioni del movimento del sole.
Gli astronomi hanno calcolato con grande precisione il tempo medio che passa tra l'istante esatto in cui il sole raggiunge la posizione più alta e quello in cui ritorna nella stessa posizione.
hanno diviso questo intervallo di tempo in 86.400 parti e scelto una di queste parti come unità di misura per il tempo. Questa unità di misura è stata chiamata secondo.
Il tempo è veramente prezioso per tutto.
Quanto è lungo un minuto ?
In un minuto ci sono 60 secondi. Gli orologi che misurano anche i secondi hanno due lancette più grandi e una più sottile (quella che gira più velocemente) che segna i secondi che passano.Questi orologi si chiamano cronometri.
esercizi
quanti secondi ci sono in mezzo secondo ?e in 1/4 di minuto?
come potete anche scrivere 63 secondi ? e 125 secondi?
Il tempo e le ombre
avete mai osservato la vostra ombra ? è sempre la stessa ?Misurate in una giornata di sole la vostra ombra ad ogni ora e vedrete riportando i risultati su un quaderno che non sarà sempre uguale
In quale ora del giorno sarà più corta ? e in quale più lunga ?
Se avete un bastone disponetelo verticalmente in un posto illuminato tutto il giorno e osservate la sua ombra
Tracciate con il gesso una line di ombra del bastone una volta gli antichi misuravano il tempo in questo modo
Ad ogni linea corrisponde un'ora.
Se poi suddividete gli intervalli tra un'ora e l'altra avrete mezz'ore e quarti d'ora questo strumento viene chiamata meridiana
martedì 10 maggio 2016
teorema di Pitagora
teorema di Pitagora
un notevolissimo caso di equivalenza che torva larga applicazione in tutti i rami della matematica è quello che prende il nome di teorema di Pitagora
disegnate su un cartoncino un qualsiasi triangolo rettangolo ABC costruite tre quadrati sull'ipotenusa e sui cateti
un notevolissimo caso di equivalenza che torva larga applicazione in tutti i rami della matematica è quello che prende il nome di teorema di Pitagora
disegnate su un cartoncino un qualsiasi triangolo rettangolo ABC costruite tre quadrati sull'ipotenusa e sui cateti
da questo si deduce che
in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti
poiché poligoni equivalenti hanno la stessa area il teorema di Pitagora si può enunciare così
in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti
si può affermare che
la misura di un cateto di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato dell'ipotenusa ed il quadrato della misura dell'altro cateto
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