angoli concavi e convessi

angoli concavi e convessi

due semirette uscenti dalla stessa origine dividono un piano in due regioni una interna e una esterna  alle due semirette.

Ognuna delle due regioni è un angolo infatti ognuna di esse è una parti di piano compresa tra due semiretti uscenti dalla stessa origine

l'angolo convesso  è quell'angolo che non contiene il prolungamento dei lati

l'angolo concavo è quell'angolo che contiene il prolungamento dei lati

invece l'angolo piatto  è l'angolo I cui lati son semirette opposte non è né concavo né convesso

moltiplicazione di monomi

moltiplicazione di monomi

E' bene ricordare che il prodotto di più potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti
Per indicare ora la moltiplicazione  di più monomi  +5ab^2 per -3ab^5 per 2a^2c

(5ab^2) (-3ab^5)(-2a^2 c)

poiché il monomio intero è il prodotto di più fattori così anche il prodotto di più monomi è un monomio
Applicando la proprietà dissociativa poi la commutativa e l'associativa della moltiplicazione  e riducendo  il monomio ottenuto a forma normale  si ha

5(-3)(-2)(a.a.a^2)(b.b^5)(c^3.c) = 30a^4b^7c^4

quindi

il prodotto di due o più monomi  che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi dati e la cui parte letterale è formata dalle diverse lettere dei vari monomi ciascuna iscritta una sola volta con esponente uguale alla somma degli esponenti che essa ha nei monomi fattori

somma algebrica di monomi

somma algebrica di monomi

per addizionare due o più monomi basta scriverli uno di seguito all'altro, ciascuno  con il proprio segno, sottintendendo  il segno più fra gli addendi; così la somma indicata.
-3a^2b+5ab- 7ab^2

la somma algebrica suddetta si chiama polinomio
Per sottrarre da un monomio un altro monomio non simile  basta aggiunger al primo l'opposto del secondo
così per sottrarre -7aB^2 l'altro  -3a^2 b si ha

-7ab^2 -(-3a^2b) = -7ab^2 + 3a^2b

e così la differenza resta indicata

Invece la somma algebrica di più monomi simili o di gruppi di monomi simili si può semplificare sostituendo I monomi simili  o ai gruppi di monomi simili altri monomi che hanno per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti da sostituire

così -3a^2b + 9a^2 b - 7a^2b + 5a^2b per la simmetria della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma si può scrivere
a^2b(-3+9-7+5) = a^2b(+4)
tale operazione si chiama riduzione ai termini simili  e si effettua attraverso raccoglimento a fattor comune della parte letterale dei monomi simili

quindi

la somma di più monomi simili è un monomio o nullo o simile ai monomi addendi che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti

i monomi

I monomi

si chiama monomio un'espressione letterale quando le lettere e I numeri che vi figurano  sono legati tra loro solamente dalle operazione di moltiplicazione o di divisione

-3ab                           +2/5xy

in un monomio si chiama coefficiente la parte numerica e parte letterale  quella costituita dalle lettere
quando in un monomio non figura alcun coefficiente si dice che il monomio ha l'unita per coefficiente

a^3
b^2

se nel monomio  -6a^2(-3a^3b^3): (-2ab) applichiamo la proprietà commutativa e le regole sulle potenze  si ha :

-9a^4b^2

in tal modo il monomio si dice ridotto a forma normale o ridotta

Un monomio si dice frazionario quando in esso qualche lettera figura come divisore

7a^2bc
  d^2

in caso contrario il monomio si dice intero

un monomio intero a sua volta può aver coefficienti interi o frazionari

Un monomio si dice nullo quando fra I suoi fattori c'è lo zero  e poiché per la legge del prodotto  il prodotto è uguale a 0

due monomi non nulli si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale con le stesse lettere e gli stessi esponenti

-5ab^2c^3          -8 ab^2c^3

due monomi con coefficienti opposti si dicono opposti

dicesi  grado di un monomio non nullo rispetto ad una lettera l'esponente in cui questa figura

dicesi grado assoluto o totale di un monomio non nullo la somma dei suoi gradi rispetto alle varie lettere che in esso figurano

fisica - metodo d'indagine della fisica

fisica - metodo d'indagine della fisica

la fisica si propone di studiare I vari fenomeni considerandoli tra loro indipendenti, cioè prendendoli I esame ad uno ad uno, riservandosi in un secondo tempo di studiare le relazioni che intercorrono tra loro.
A quest indagine si presta ottimamente il metodo sperimentale che consente di affrontare ogni problema nuovo mediante un'impostazione razionale basata sulle seguenti  fondamentali :

a) l'osservazione del fenomeno come si presenta in Natura per coglierne le linee essenziali
b) la formulazione di una tesi semplice e logica, cioè di una supposizione sul meccanismo di un fenomeno osservate ed ancora sconosciuto ricorrendo anche ad analogie con altri fenomeni già noti
c) la riproduzione artificiale del fenomeno detta esperienza per verificare la validità dell'ipotesi formulata  sul meccanismo del fenomeno
d) la riduzione in legge generale dell'ipotesi convalidata dall'esperienza

Nel caso in cui l'ipotesi non avesse a trovare conferma sperimentale, essa dovrà essere modificata o sostituita da altra ipotesi che possa ricevere dall'esperienza la garanzia della sua piena validità ed essere tradotta in legge generale

Fino a questo il metodo si avvale di un procedimento logico di carattere induttivo, cioè parte dalla osservazione  del caso singolo  per arrivare, attraverso la ipotesi e l'esperienza ad una legge generale valida per tutti I fenomeni della stessa specie.
Nota questa legge è possibile con semplice procedimento logico di carattere deduttivo, cioè attraverso il puro ragionamento ed il calcolo (senza più ricorrere al vaglio dell'esperienza) risolvere tutti I casi singoli.
Per questa sua caratteristica il metodo sperimentale è pure definito metodo induttivo- deduttivo  o metodo empirico-logico


le leggi naturali sono di due tipi

qualitative  che forniscono una semplice descrizione del fenomeno
quantitative che stabiliscono una precisa relazione  anche in termini di quantità tra le varie grandezze che intervengono ne fenomeno

la fisica - oggetto e scopo della fisica

la fisica - oggetto e scopo della fisica

La fisica è la scienza che studia e descrive I fenomeni naturali inquadrandoli ed unendoli in leggi precise di carattere generale

Come fenomeno intendiamo ogni manifestazione che si verifica nell'Universo.
es una palla che rimbalza oppure una corda che vibra

Possiamo facilmente constatare che in Natura fenomeni della stessa specie che si ripetono ogni qualvolta si verificano le stesse condizioni; pertanto le leggi che li regolano esprimendo una relazione tra al causa e il suo effetto sono di carattere generale per una stessa specie di fenomeni e sono dette leggi naturali.

La fisica classica  che raccoglie quel complesso di argomenti che già alla fine del secolo avevano trovato una logica sistemazione
può venire suddivisa a sua volta in

a) meccanica che studia il moto dei corpi
b) termologia che studia il calore
c)  acustica che studia i suoni
d) ottica che studia la luce e I fenomeni luminosi
e) elettrologia  che studia I fenomeni elettrici e magnetici

La fisica moderna che studia la  costituzione della materia suddivisa in :

a) fisica atomica
b) fisica nucleare

geometria analitica - coordinate cartesiane

geometria analitica - coordinate cartesiane

Si  x una retta orientata, cioè  una retta sulla quale sia fissato un verso di percorrenza. Nelle figure questo verso si indica con una freccia e si dice verso positivo  mentre quello contrario  si dice verso negativo. Se la retta  è disposta orizzontalmente si assume di solito come verso positivo quello che va da sinistra a destra; se la retta è disposta verticalmente  si assume come verso positivo quello che va verso l'alto

Sia O un punto fisso  della retta e P un altro punto  qualunque della retta stessa. A numero che esprime la distanza di P da O (misurata rispetto a una prefissata unità) si conviene di attribuire  il segno + o il segno meno  secondochè  il punto P si trova alla destra o alla sinistra di O  a tale numero si dà il nome di ascissa del punto p.
Il punto O si chama origine esso ha per ascissa O
Reciprocamente  dato un numero  relativo qualunque a resta individuato uno ed un solo punto  P sulla retta x avente per ascissa a esso si trova alla destra o alla sinistra di O secondochè  a è positivo o negativo e dista dall'origine  di un segmento la cui misura è a

Quando data una retta si fissa un punto  come origine un verso positivo e l'unità di misura si dice di aver scelto sulla retta una sistema di ascisse

numeri primi

numeri primi

criterio per riconoscere i numeri primi

Questo criterio si applica naturalmente per un numero dispari perché certamente un numero pari è composto.

se il numero  che si considera è minore di 5000 si può cercare in una tabella dove sono elencati i numeri primi  se il numero è maggiore di 5000 o non si ha sottomano la tabella  si applica la seguente regola pratica


si divide il numero dato  per i successivi numeri primi 2,3,5,7,11 senza tralasciarne nessuno
se si arriva ad un quoziente esatto il numero è composto le divisioni altrimenti devono essere eseguite fino a che non si trovi un quoziente minore o uguale al divisore che si è adoperato quindi si può dire che è un numero primo di sicuro.

per esempio se vogliamo stabilire se 281 è un numero primo.

si applicano i criteri di divisibilità  si vede subito che non è divisibile per 2 né per 3 né per 5 né per 11
si eseguono successivamente le divisione di 281 per 7, 13, 17  ecc.

281 : 7  non è un quoziente esatto
281: 13 neanche
281 : 17 neanche
si continua e si vede che 281 è un numero primo

rettangolo

rettangolo

il rettangolo è un parallelogramma particolare si chiama rettangolo perché ha 4 angoli retti.
Uno dei lati si chiama base e l'altro altezza.
Il rettangolo essendo un parallelogramma gode di tutte le proprietà di questo e in più si può dividere in due triangolo perfettamente uguali.
In un rettangolo le diagonali sono uguali

L'area di una figura è la misura della sua superficie ossia il numero di volte che l'unità è contenuta nella figura
L'area di un rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per la misura dell'altezza ossia

S = b x h

dove S è la superficie b è la misura della base e h la misura dell'altezza ne seguono le formule inverse

b = S                          h = S
      h                                 b

il perimetro di una figura invece è la somma dei suoi lati

2p = b + h x 2

proprietà della circonferenza

Proprietà della circonferenza

La circonferenza è una linea chiusa  i cui punti sono equidistanti  da un punto detto centro

La distanza tra un punto qualsiasi della circonferenza e il centro di dice raggio.

Per disegnare una circonferenza si usa il compasso l'apertura del compasso è la distanza dal centro  e quindi corrisponde al raggio

una corda è un segmento  che ha per estremi due punti di una circonferenza, una particolare circonferenza è il diametro che passa dal centro è la corda massima e divide la circonferenza in due parti uguali. Il diametro è il doppio del raggio

l'arco  è una delle due parti compresa tra una circonferenza.

PROPRIETA' DELLE CORDE

Se consideriamo la corda AB  e il triangolo AOB  che è un triangolo isoscele  infatti i lati  AO E OB  sono due raggi  e quindi uguali.
Tracciando un perpendicolare  da O a AB  abbiamo l'altezza di un triangolo.
Quindi la perpendicolare  condotta dal centro una corda la divide a metà.

 

i semipiani

i semipiani

6° POSTULATO 
Ogni retta r suddivide il piano p in tre sottoinsiemi disgiunti r, p', p". I sottoinsiemi  p' e p" sono tali che un segmento AB i cui estremi appartengono entrambi a p' o entrambi a p" non ha alcun punto in comune con r mentre un segmento  CD i cui estremi appartengono l'uno  a p' e l'altro  a p" ha un punto in comune con r.

Dicesi semipiano di origine r  ciascun dei due insiemi di punto P'  = p' appartiene a r e p" = p" appartiene a r.
I due semipiani distinti di comune origine come p' e p" si dicono opposti.

Un punto A appartenente a un semipiano ma non all'origine di questo si dice interno al semipiano.
Un semipiano  resta individuato quando se ne conosce l'origine r ed in un suo punto  interno A. Per questo esso viene anche indicato  come semipiano rA

COROLLARIO   tutti i semipiani sono uguali

geometria - somma e differenza di segmenti

geometria - somma e differenza di segmenti

Dati due segmenti  a e b riportiamoli su una semiretta s a partire dalla sua origine O nelle posizioni  OM e MN in modo che risultino adiacenti. Il segmento ON così ottenuto  si dice somma dei segmenti a e b e si scrive ON = a+b.
La somma di tre  o più segmenti si ottiene addizionando  a+b  dei primi due il terzo segmento  c poi via via tutti gli altri.

Addizionando  n segmenti tutti uguali ad un segmento a il segmento somma si dice multiplo di a secondo il numero. A sua volta a si dice sottomultiplo del segmento somma secondo il numero n.

Dati due segmenti  a e b co a > b  si chiama loro differenza e si indica con a-b il segmento che addizionato a b dà come somma a.
L'addizione e la sottrazione dei segmenti godono di tutte le proprietà che caratterizzano l'addizione e la sottrazione di numeri positivi

geometria - segmenti consecutivi e adiacenti

geometria - segmenti consecutivi e adiacenti

due segmenti consecutivi come AB  e BC che hanno in comune un estremo ed esso soltanto si dicono consecutivi.
Due segmenti consecutivi  che appartengono alla medesima retta si dicono adiacenti

Più segmenti  ad due a due consecutivi e non adiacenti costituiscono nel loro insieme una poligonale.
I segmenti si dicono lati  e i punti di adiacenza si dicono estremi  Se gli estremi sono distinti la poligonale è aperta altrimenti è chiusa. Quando due lati non consecutivi hanno un punto in comune  la poligonale è intrecciata

geometria - segmenti

geometria - segmenti

Dati due distinti punti  A e B di una retta r dicesi segmento AB il sottoinsieme di r costituito da A da B e dai punti  compresi tra A e B. I punti A e B si dicono estremi  del segmento AB; ogni altro suo punto P  si dice interno ad AB. I punti  che non appartengono al segmento  si dicono esterni ad esso. Talvolta un segmento indica con una lettera minuscola.

Anche il segmento è un insieme ordinato e denso  dotato di un primo e ultimo elemento.

CONFRONTO DI SEGMENTI

Dati due segmenti  AB e Mn di trasporti  con un movimento rigido  AB sulla semiretta di origine M che passa per N  con A su M detta C la nuova posizione assunta dall'estremo B tre situazioni si possono verificare :

1) che C sia interno  ad MN ( e allora diremo che AB è minore di MN)
2)  che C coincida con N (nel caso risulta che AB è = a MN)
3)  che C sia esterno ad MN ( diremo che AB è maggiore di MN)

le semirette

le semirette

Sia r una retta orientata cioè una retta sulla quale è stato fissato un verso di percorrenza. Preso su r un punto O veniamo a individuare due sottoinsiemi  della retta : quello  s' cui appartengono  O ed i punti che lo seguono  e l'alto s" formato da O  e dai punti che lo precedono. Ciascuno di tali insiemi  viene detto semiretta di origine O.
Le semirette s' ed s" si dicono opposte e l'una è il proseguimento dell'altra.
E' chiaro  che l'unione delle due semirette opposte s' ed s'' è la retta r mentre la loro intersezione è la figura composta dalla sola origine O.
Una semiretta  s' resta individuata quando se ne conosca l'origine O  ed il suo punto P. Per questo  essa viene detta semiretta OP.

Anche la semiretta è un insieme ordinato (perché è fissato  fra i suoi punti un criterio di precedente) e denso (perché tra i suo punti ne sono compresi infiniti altri). Essa però non è un insieme privo di primo e ultimo elemento dato che la sua origine precede (o segue)  tutti gli altri suoi punti.

Dal 4° postulato  segue con facili considerazioni che per semplicità  non riportiamo che tutte le semirette sono uguali.

rette parallele

rette parallele

5° postulato  detto postulato di Euclide

Data una retta r ed un punto P esterno ad essa esiste una e una sola retta passante per P e non avente un punto in comune con la r.

Il precedente postulato ci consente di dare la seguente definizione

due rette del piano si dicono parallele se coincidono oppure se non hanno nessun punto in comune.
In molte trattazione non si considerano parallele anche le rette coincidenti. La definizione più ampia riportata è suggerita dalle vedute più recenti degli studiosi di geometria.

Dal postulato di Euclide e dalla successiva definizione discende il seguente corollario

COROLLARIO

Data una retta r ed un punto P del piano (appartenente oppure no alla r)  per P si può condurre una ed una sola retta s parallela alla r.

Parlando  della parallela condotta per un punto ad una retta si dovrà dire - stante l'unicità - la parallela e non una parallela.
Si osservi che nel piano le possibili posizioni reciproche di due rette sono soltanto due :

rette incidenti (cioè aventi un solo punto in comune)
rette parallele (cioè aventi tutti i punti in comune o nessuno).

A questo punto fra i postulati ed i corollari che da essi discendono conosciamo molte proprietà delle rette. Anche se  non ci è nota la loro intrinseca natura siamo in grado di ragionare su di esse; per cui possiamo passare alla definizione di altri enti geometrici  che con le rette hanno uno stretto rapporto.

Le immagini di un granello di sabbia, di un filo steso, della superficie di un tavolo, adoperate in geometria intuitiva per introdurre i concetti di punto, retta e piano dovrebbero apparirci ormai come rappresentazioni  piuttosto grossolani. Nulla ci vieta  di ricorrere ancora ad esser per aiutare il nostro sforzo di immaginazione, ma solo al patto di considerarli modelli del tutto occasionali.

geometria - uguaglianza delle rette

geometria - uguaglianza delle rette

Sappiamo che data una retta AB = r esistono  su r due possibili ordinamenti dei suoi punti : quello  per il quale A precede B e l'altro per il quale B precede A. Allorché  si fissa uno di tali ordinamenti ( ad esempio il primo)  si viene automaticamente a fissare su r un vero di percorrenza (quello da A verso B)  od a una orientazione della retta.
La retta si dice allora orientata. Il verso prescelto viene detto  verso positivo; l'altro verso negativo.

4° postulato. Date due rette orientate a e b e due loro punti A (appartenente ad a ) e B (appartenente a b)  esistono due movimenti  rigidi che portano a a coincidere con b con A su B : l'uno fa coincidere le due orientazioni e l'altro le dispone in senso opposto.

COROLLARIO. Tutte le rette sono uguali
Infatti date due rette è possibile con un movimento  portarle a coincidere.

molteplicità delle rette

molteplicità delle rette

3° POSTULATO

Dato un punto  P esistono rette che non lo contengono

1° COROLLARIO

esistono infinite terne di punti non allineati. Infatti siano P un punto ed r una  retta non passante per esso. Presi sulla r distinti punti A e B  si ottiene la terna P,A,B di punti  che non sono allineati perché per A e B  passa solo la retta r e P non appartiene ad essa.


2° COROLLARIO

 Per ogni punto P passano infinite rette.
Basta considerare una retta r non passante per P. Congiungendo P con gli infiniti punti  r si ottengono infinite rette passanti per P

3° COROLLARIO

Esistono  infiniti punti non appartenenti alla retta r.
Infatti se A è un punto di r ed s è una retta contenente A tutti gli infiniti punti di s uno al più escluso  risultano  esterni alla r.

Un Punto A appartenente ad una retta r  si dice interno ad essa un punto P non appartenente alla retta r si dice esterno ad r.

geometria - le rette come insieme ordinato

geometria - le rette come insieme ordinato

Un insieme si dice ordinato quando è stato introdotto da un criterio  di precedenza in virtù del quale  presi due suoi qualunque elementi   a e b  si può stabilire se a precede b oppure se b precede a.
Ad esempio  possiamo ordinare  l'insieme dei numeri naturali convenendo che di due di tali numeri il minore precede il maggiore.
Per l'insieme degli alunni della classe possiamo fissare un ordine utilizzando  l'elenco alfabetico dei loro nomi.
Si noti che ad ogni ordinamento  attribuito  agli elementi di un insieme  corrisponde sempre un ordinamento in senso opposto. Così  nei due esempi citati  si possono ordinare i numeri naturali dal maggiore al minore o elencare i nomi degli alunni della classe dalla lettera Z alla lettera A.

L'ordinamento dato ad un insieme gode della proprietà transitiva nel senso che se un elemento a precede un elemento b  e b precede l'elemento c allora a precede anche l'elemento c.

2° POSTULATO

Ogni retta r è un insieme ordinato di punti. L'ordinamento è tale che :

presi su r due punti distinti  A e B esiste sempre un punto di r compreso tra A e B; preso su r un punto C esistono sempre due punti A e B  di r  fra i quali esso è compreso.

1° COROLLARIO. Fra due punti  A e B di r sono compresi infiniti punti appartenenti ad r. Infatti tra A e B  deve essere compreso un  punto C di r; così  fra A e C deve essere compreso un punto D di r; fra A  e D un altro  fra a e quest'ultimo  punto deve essere compreso un altro punto e così all'infinito.

Gli insiemi  ordinati per i quali  fra due elementi qualunque è sempre compreso un altro elemento si dicono insiemi densi. La retta è un insieme ordinato e denso.

2° COROLLARIO. ogni punto C di una retta r è preceduto e seguito da infiniti punti di r.
Il ragionamento è simile al precedente. Come il punto C deve essere preceduto dal punto A e seguito dal punto B  di r così A deve essere preceduto da un punto A1 e B seguito da B1 di r; a loro volta A1 e B1 devono essere rispettivamente preceduto da A2 B2 appartenenti a r e così via all'infinito.

Ogni insieme ordinato  per il quale un suo qualunque elemento  è preceduto e  seguito da un altro elemento  si dive insieme privo di primo  e ultimo elemento. Pertanto  abbiamo che anche la retta è un insieme primo di primo e ultimo elemento.

Dai due primi corollari  segue che :

3° COROLLARIO. Ogni retta è un insieme infinito di punti.

geometria - le rette

geometria - le rette

Fra i sottoinsiemi  del piano (cioè le figure piane)  vi sono insiemi di punti  di tipo particolare che chiameremo rette.

Assumiamo  come primitivo il concetto di retta. Le proprietà che caratterizzano le rette  sono fissate nei postulati che seguono.
Prima di enunciare tali postulati  precisiamo che  mentre i punto si indicano con le lettere maiuscole (A B C ....)  le rette si indicano generalmente con le lettere minuscole (a b c .....)

1° postulato

Dati due punti A e B  esiste una e una sola retta che li contiene entrambi

La retta individuata dai due punti  A e B  viene anche detta contingente i punti A e B  o retta AB.
Il precedente postulato  si suole enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una sola retta

 Dal precedente postulato  consegue il

corollario

Due rette distinte non possono avere più di un punto in comune (altrimenti coinciderebbero)
Due rette aventi un punto P in comune si dicono incidenti. Il punto P si chiama punto di incidenza o di intersezione o di incontro delle due rette.

Dati più punti  se accede che appartengono tutti alla stessa retta allora i punti si dicono allineati. Il precedente postulato ci garantisce che i punto sono sempre allineati

geometria le figure uguali - il movimento

Le figure uguali - il movimento

I ragionamento di figure uguali è complesso  se lo si vuole trattare da un punto di vista razionale.

Nel momento in cui si parla di movimento dei corpi bisogna precisare la differenza tra i corpi rigidi e quelli deformabili. Si tratta di movimenti  effettuati con corpi rigidi nel piano  e nello spazio (movimenti rigidi). Anche le figure geometriche vanno pensati come corpi rigidi che possono essere assoggettate a movimenti  che le trasferiscono da una zona ad un'altra  del piano e dello spazio.
L'idea di movimento (rigido) di una figura geometria viene introdotta come concetto primitivo.

Diremo uguali due figure quando con un movimento è possibile portare una di esse a coincidere  punto per punto  con l'altra

Ciò significa che  a movimento compiuto ogni punto A della prima figura F si identifica  con un punto  A' della seconda figura F'  e che ogni punto B' della F' coincide con un punto B della F. I punti A;B....... della figura F si dicono corrispondenti od omologhi rispettivamente dei punti A';B' della figura F'.

POSTULATO. l'uguaglianza delle figure gode delle tre seguenti proprietà :

Ogni figura è uguale a se stessa (proprietà riflessiva dell'uguaglianza);

Se una prima figura è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale alla prima (proprietà simmetrica dell'uguaglianza);

Se una prima figura è uguale ad una seconda e questa è uguale ad una terza allora la prima è uguale alla terza (proprietà transitiva dell'uguaglianza).

Nella geometria piana i possibili movimenti dovrebbero essere soltanto quelli  che consentono di spostare una figura  facendola strisciare sul piano  cui essa appartiene  cioè quelli che fanno muovere  il piano su se stesso.
Tuttavia introduce un'eccezione  il ribaltamento del piano  cioè quel movimento che si adopera ogni volta che si volta la pagina di un libro.