consideriamo la proporzione
12:4 = 21:7 ;
scambiando in essa i due medi o i due estremi si ha
12:21 = 4:7 oppure 7:4 = 21 : 12
queste sono due nuove proporzioni perché entrambe come si può facilmente verificare il prodotto dei medi è uguale a quello dei due estremi cioè
se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi o i due estremi si ha una nuova proporzione
questa operazione prende il nome di proprietà del permutare
data una proporzione
20:5 = 12:3
se scambiamo ogni antecedente con il suo conseguente otteniamo
5:20 = 3:12
che è una nuova proporzione come risulta evidente verificando che il prodotto 20 x 3 = 60 dei due medi è uguale al prodotto 5x 12 dei due estremi cioè
se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ha una nuova proporzione
Questa operazione prende i nome di proprietà dell'invertire
mercoledì 1 aprile 2015
le proporzioni matematiche
definizioni
consideriamo due rapporti uguali ed esempio
18:3= 6 e 42:7 = 6
per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha :
18:3 =42:7
Un'uguaglianza di due rapporti che si legge 18 sta a 3 come 42 sta a 7 prende il nome di proporzione
cioè
una proporzione è l'uguaglianza di due rapporto
i numeri, 3, 18 ,42, 7 si dicono termini della proporzione il primo e il quarto sono gli estremi ed il secondo e il terzo sono medi. Inoltre il primo e il terzo cioè il 18 e il 42 si dicono antecedenti ed il secondo e il quarto conseguenti
18:6 = 12 :4 oppure 18/6 =12/4 (1)
e riduciamo le due frazioni dell'ultima uguaglianza allo stesso denominatore assumendo come tale il prodotto 6x4 dei loro denominatori si avrà
18x4/6x4 = 12x6//4x6 18x4/24 =12x6/24
poiché le due frazioni uguali aventi uguali denominatori hanno anche i numeratori uguali dall'ultima uguaglianza si trae:
18x4=12x6 (2)
osservate iche il primo membro della (2) è il prodotto degli estremi della data proporzione (1) n e che il secondo membro è il prodotto degli estremi si ha dunque una proprietà fondamentale:
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotti degli estremi
Viceversa
Quattro numeri in un certo ordine formano una proporzione se il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo
dati per esempio 4 numeri
9; 3; 15; 5
poiché si ha che 9x5=45 e 3x15 =45
risulta che 9x5=15x5
infatti il rapporto 9:3= 3 è uguale al rapporto 15:5 = 3
Ne consegue che dati quattro numeri per assicurarsi se nell'ordine assegnato formano una proporzione occorre verificare se il rapporto del primo al secondo è uguale al rapporto del terzo al quarto o se il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo
consideriamo due rapporti uguali ed esempio
18:3= 6 e 42:7 = 6
per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha :
18:3 =42:7
Un'uguaglianza di due rapporti che si legge 18 sta a 3 come 42 sta a 7 prende il nome di proporzione
cioè
una proporzione è l'uguaglianza di due rapporto
i numeri, 3, 18 ,42, 7 si dicono termini della proporzione il primo e il quarto sono gli estremi ed il secondo e il terzo sono medi. Inoltre il primo e il terzo cioè il 18 e il 42 si dicono antecedenti ed il secondo e il quarto conseguenti
proprietà delle proporzioni
Dati due qualsiasi rapporti uguali 18/6 = 3 e 12/4 = 3 consideriamo la proporzione18:6 = 12 :4 oppure 18/6 =12/4 (1)
e riduciamo le due frazioni dell'ultima uguaglianza allo stesso denominatore assumendo come tale il prodotto 6x4 dei loro denominatori si avrà
18x4/6x4 = 12x6//4x6 18x4/24 =12x6/24
poiché le due frazioni uguali aventi uguali denominatori hanno anche i numeratori uguali dall'ultima uguaglianza si trae:
18x4=12x6 (2)
osservate iche il primo membro della (2) è il prodotto degli estremi della data proporzione (1) n e che il secondo membro è il prodotto degli estremi si ha dunque una proprietà fondamentale:
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotti degli estremi
Viceversa
Quattro numeri in un certo ordine formano una proporzione se il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo
dati per esempio 4 numeri
9; 3; 15; 5
poiché si ha che 9x5=45 e 3x15 =45
risulta che 9x5=15x5
infatti il rapporto 9:3= 3 è uguale al rapporto 15:5 = 3
Ne consegue che dati quattro numeri per assicurarsi se nell'ordine assegnato formano una proporzione occorre verificare se il rapporto del primo al secondo è uguale al rapporto del terzo al quarto o se il prodotto del primo e del quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo
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