gli insiemi matematici scuola superiore

gli insiemi matematici scuola superiore

Concetto di insieme

Sono fondamentali per la matematica moderno sia il concetto di insieme  si a quello di elemento dell'insieme che noi assumiamo come concetti primitivi ossia non li definiamo in quanto costituiscono per noi il punto di partenza per definirne altri. Tuttavia riteniamo utile illustrare i due concetto con le parole stesse usate da Cantor  : con i nome di insieme  intendiamo ogni raccolta classe aggregato totalità I di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: Tali oggetti vengono chiamati gli elementi di I.
Gli elementi di un insieme (astratti o concreti) possono essere di natura qualsiasi  purchè  ben determinati; cioè  che si sappia decidere senza ambiguità se un elemento appartiene o no all'insieme considerato: Pertanto un insieme  reterà individuato quando si conoscono singolarmente gli elementi  o perchè effettivamente elencati o perché assegnati mediante una proprietà caratteristica.

oppure può essere individuato assegnando  la proprietà caratteristica di suoi elementi (numeri naturali maggiori di 2 e minori di 7)

I = 2< x  < 7

(che si legge insieme formato dagli elementi  x tali che siano compresi tra 2 e 7 )
non sarebbe esauriente perché non è indicato l'ambiente in cui  bisogna trarre gli elementi x infatti x potrebbe indifferentemente rappresentare un numero naturale o solamente pari o solamente dispari  o un numero razionale  ecc.
La totalità degli elementi da cui  bisogna trare quelli occorrenti per formare un insieme si dice insieme ambiente o insieme universo che indicheremo con U

E' molto comoda la rappresentazione grafica degli insiemi realizzata con  i diagrammi di Venn secondo cui un insieme è raffigurato da una linea chiusa indicante I

monomi

Si dice monomio qualunque espressione algebrica in cui non figurano addizioni o sottrazioni


per esempio



10 a^3b            e   (2)a(+5)b


vediamo che ogni monomio  si può  presentare come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze di basi diverso.


2a^2b^2c

In questo caso il monomio si dice ridotto alla forma normale.

Si dice coefficiente di un monomio ridotto alla forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti.


Un monomio ridotto in forma normale si dice intero  se le lettere non figurano al denominatore  cioè  se tutte le sue lettere hanno esponente positivo in caso contrario si dice frazionario

monomi interi


5a^2               - 3 x^2yz  
                         4


monomi frazionari

2a^2               - 3y
b^3                   4x

si dice grado di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere
si ricordi che ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1


7ab^2c^3 è  1+2+3 = 6


Il grado ora definito si dice grado complessivo.
Si dice invece grado di un monomio intero rispetto ad una lettera l'esponente  di quella lettera

per esempio

3 a^3b^2c^      

è di grado 3 rispetto alla lettera a

Se in un monomio manca una data lettera si dice di grado 0 rispetto a quella lettera
per esempio


3ab^2c^0    è zero rispetto alla lettera c che corrisponde a 1

Espressioni algebriche

Espressioni algebriche

 estendendo una locuzione introdotta nell' aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme di qualunque dei numeri relativi rappresentanti anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni. Un'espressione algebrica si dice razionale quando le operazioni da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione.
Il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono. Razionali, perché quando si opera con s su numeri razionali interi e frazionari si ottengono sempre numeri razionali. Un'espressione si dice intera se fai segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello di divisione in caso contrario l'espressione si dice frazionaria.
Attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire a quella lettera il numero dato. Quando le lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazioni indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice per valore numerico delle espressioni algebrica per i dati valori delle lettere. Naturalmente si suppone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibile altrimenti le espressioni perde di significato

Si consideri l'espressione

-3a + 2b^2 - 5 c

e si voglia calcolare il valore numerico attribuendo alle lettere i valori

a = - 2         b= + 1       c = - 3
                            3               4


facendo la sostituzione


- 3 (-2) + 2(+1)^2 - 5(-3)
                     3             4

facendo i calcoli

6 + 2 + 15= 359
      9     4     36