geometria - somma e differenza di segmenti

geometria - somma e differenza di segmenti

Dati due segmenti  a e b riportiamoli su una semiretta s a partire dalla sua origine O nelle posizioni  OM e MN in modo che risultino adiacenti. Il segmento ON così ottenuto  si dice somma dei segmenti a e b e si scrive ON = a+b.
La somma di tre  o più segmenti si ottiene addizionando  a+b  dei primi due il terzo segmento  c poi via via tutti gli altri.

Addizionando  n segmenti tutti uguali ad un segmento a il segmento somma si dice multiplo di a secondo il numero. A sua volta a si dice sottomultiplo del segmento somma secondo il numero n.

Dati due segmenti  a e b co a > b  si chiama loro differenza e si indica con a-b il segmento che addizionato a b dà come somma a.
L'addizione e la sottrazione dei segmenti godono di tutte le proprietà che caratterizzano l'addizione e la sottrazione di numeri positivi

geometria - segmenti consecutivi e adiacenti

geometria - segmenti consecutivi e adiacenti

due segmenti consecutivi come AB  e BC che hanno in comune un estremo ed esso soltanto si dicono consecutivi.
Due segmenti consecutivi  che appartengono alla medesima retta si dicono adiacenti

Più segmenti  ad due a due consecutivi e non adiacenti costituiscono nel loro insieme una poligonale.
I segmenti si dicono lati  e i punti di adiacenza si dicono estremi  Se gli estremi sono distinti la poligonale è aperta altrimenti è chiusa. Quando due lati non consecutivi hanno un punto in comune  la poligonale è intrecciata

geometria - segmenti

geometria - segmenti

Dati due distinti punti  A e B di una retta r dicesi segmento AB il sottoinsieme di r costituito da A da B e dai punti  compresi tra A e B. I punti A e B si dicono estremi  del segmento AB; ogni altro suo punto P  si dice interno ad AB. I punti  che non appartengono al segmento  si dicono esterni ad esso. Talvolta un segmento indica con una lettera minuscola.

Anche il segmento è un insieme ordinato e denso  dotato di un primo e ultimo elemento.

CONFRONTO DI SEGMENTI

Dati due segmenti  AB e Mn di trasporti  con un movimento rigido  AB sulla semiretta di origine M che passa per N  con A su M detta C la nuova posizione assunta dall'estremo B tre situazioni si possono verificare :

1) che C sia interno  ad MN ( e allora diremo che AB è minore di MN)
2)  che C coincida con N (nel caso risulta che AB è = a MN)
3)  che C sia esterno ad MN ( diremo che AB è maggiore di MN)

le semirette

le semirette

Sia r una retta orientata cioè una retta sulla quale è stato fissato un verso di percorrenza. Preso su r un punto O veniamo a individuare due sottoinsiemi  della retta : quello  s' cui appartengono  O ed i punti che lo seguono  e l'alto s" formato da O  e dai punti che lo precedono. Ciascuno di tali insiemi  viene detto semiretta di origine O.
Le semirette s' ed s" si dicono opposte e l'una è il proseguimento dell'altra.
E' chiaro  che l'unione delle due semirette opposte s' ed s'' è la retta r mentre la loro intersezione è la figura composta dalla sola origine O.
Una semiretta  s' resta individuata quando se ne conosca l'origine O  ed il suo punto P. Per questo  essa viene detta semiretta OP.

Anche la semiretta è un insieme ordinato (perché è fissato  fra i suoi punti un criterio di precedente) e denso (perché tra i suo punti ne sono compresi infiniti altri). Essa però non è un insieme privo di primo e ultimo elemento dato che la sua origine precede (o segue)  tutti gli altri suoi punti.

Dal 4° postulato  segue con facili considerazioni che per semplicità  non riportiamo che tutte le semirette sono uguali.

rette parallele

rette parallele

5° postulato  detto postulato di Euclide

Data una retta r ed un punto P esterno ad essa esiste una e una sola retta passante per P e non avente un punto in comune con la r.

Il precedente postulato ci consente di dare la seguente definizione

due rette del piano si dicono parallele se coincidono oppure se non hanno nessun punto in comune.
In molte trattazione non si considerano parallele anche le rette coincidenti. La definizione più ampia riportata è suggerita dalle vedute più recenti degli studiosi di geometria.

Dal postulato di Euclide e dalla successiva definizione discende il seguente corollario

COROLLARIO

Data una retta r ed un punto P del piano (appartenente oppure no alla r)  per P si può condurre una ed una sola retta s parallela alla r.

Parlando  della parallela condotta per un punto ad una retta si dovrà dire - stante l'unicità - la parallela e non una parallela.
Si osservi che nel piano le possibili posizioni reciproche di due rette sono soltanto due :

rette incidenti (cioè aventi un solo punto in comune)
rette parallele (cioè aventi tutti i punti in comune o nessuno).

A questo punto fra i postulati ed i corollari che da essi discendono conosciamo molte proprietà delle rette. Anche se  non ci è nota la loro intrinseca natura siamo in grado di ragionare su di esse; per cui possiamo passare alla definizione di altri enti geometrici  che con le rette hanno uno stretto rapporto.

Le immagini di un granello di sabbia, di un filo steso, della superficie di un tavolo, adoperate in geometria intuitiva per introdurre i concetti di punto, retta e piano dovrebbero apparirci ormai come rappresentazioni  piuttosto grossolani. Nulla ci vieta  di ricorrere ancora ad esser per aiutare il nostro sforzo di immaginazione, ma solo al patto di considerarli modelli del tutto occasionali.

geometria - uguaglianza delle rette

geometria - uguaglianza delle rette

Sappiamo che data una retta AB = r esistono  su r due possibili ordinamenti dei suoi punti : quello  per il quale A precede B e l'altro per il quale B precede A. Allorché  si fissa uno di tali ordinamenti ( ad esempio il primo)  si viene automaticamente a fissare su r un vero di percorrenza (quello da A verso B)  od a una orientazione della retta.
La retta si dice allora orientata. Il verso prescelto viene detto  verso positivo; l'altro verso negativo.

4° postulato. Date due rette orientate a e b e due loro punti A (appartenente ad a ) e B (appartenente a b)  esistono due movimenti  rigidi che portano a a coincidere con b con A su B : l'uno fa coincidere le due orientazioni e l'altro le dispone in senso opposto.

COROLLARIO. Tutte le rette sono uguali
Infatti date due rette è possibile con un movimento  portarle a coincidere.