la sottrazione

cioè differenza di due numeri

si dice  differenza tra un numero ed un altro  che non sia maggiore del primo  un terzo numero che sommato al secondo  dia per somma il primo

perciò la differenza tra  8 e3  che si indica con 8-3  è 5 perché  5+3= 8

risulta dalla definizione che la differenza di due numeri uguali è zero  e che la differenza tra un numero e zero  è il numero stesso

8-8=0              8-0= 8

si dice sottrazione l'operazione per mezzo della quale si determina la differenza tra due numeri  il primo dei quali è il minuendo e il secondo è il sottraendo 

il risultato si chiama differenza  o resto

175        -          84           =      91
minuendo  sottraendo       differenza o resto

1574 -                  prova            626 +
  948 =                                       948 =
  626                                        1574

proprietà del permutare e dell'invertire - matematica

consideriamo la proporzione 

12:4 = 21:7 ;

scambiando  in essa i due medi o i due estremi si ha

12:21 = 4:7      oppure 7:4 = 21 : 12

queste sono due nuove proporzioni  perché entrambe come si può facilmente verificare il prodotto dei medi è uguale a quello dei due estremi  cioè

se in una qualsiasi  proporzione si scambiano  fra loro i due medi o i due estremi  si ha una nuova proporzione

questa operazione  prende il nome di proprietà del permutare

data una proporzione

20:5 = 12:3

se scambiamo  ogni antecedente con il suo conseguente  otteniamo 

5:20 = 3:12

che è una nuova proporzione come risulta evidente verificando  che il prodotto 20 x 3 = 60  dei due medi è uguale al prodotto 5x 12  dei due estremi  cioè

se in una qualsiasi  proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ha una nuova proporzione

Questa operazione prende i nome di  proprietà dell'invertire

le proporzioni matematiche

definizioni
consideriamo due rapporti uguali  ed esempio

18:3= 6                     e 42:7 = 6

per la proprietà transitiva  dell'uguaglianza si ha :

18:3 =42:7 

Un'uguaglianza di due rapporti  che si legge 18 sta a 3 come 42 sta a 7 prende il nome di proporzione
cioè

una proporzione è l'uguaglianza di due rapporto

i numeri, 3, 18 ,42, 7 si dicono termini della proporzione  il primo e il quarto sono gli estremi  ed il secondo e il terzo sono medi.  Inoltre  il primo e il terzo cioè il 18 e il 42 si dicono antecedenti  ed il secondo e il quarto conseguenti

proprietà delle proporzioni

Dati due qualsiasi rapporti uguali  18/6  = 3         e 12/4 = 3  consideriamo la proporzione 

18:6 = 12 :4  oppure 18/6 =12/4    (1)

e riduciamo le due frazioni  dell'ultima uguaglianza allo stesso denominatore  assumendo come tale  il prodotto  6x4 dei loro denominatori si avrà

18x4/6x4 = 12x6//4x6          18x4/24 =12x6/24

poiché le due frazioni  uguali aventi uguali denominatori  hanno anche i numeratori uguali  dall'ultima uguaglianza  si trae:

18x4=12x6                    (2)

osservate iche il primo membro  della (2) è il prodotto  degli estremi  della data proporzione (1) n e che il secondo membro è il prodotto  degli estremi  si ha dunque una proprietà fondamentale:

In ogni proporzione il prodotto dei medi  è uguale al prodotti degli estremi
 
Viceversa
Quattro numeri in un certo ordine  formano una proporzione se  il prodotto del primo e del quarto  è uguale al prodotto del secondo per il terzo

dati per esempio 4 numeri

9; 3; 15; 5

poiché si ha che  9x5=45    e 3x15 =45

risulta che 9x5=15x5

infatti  il rapporto 9:3= 3 è uguale al rapporto 15:5 = 3

Ne consegue che dati quattro numeri  per assicurarsi se nell'ordine assegnato formano una proporzione occorre verificare se il rapporto del primo al secondo  è uguale al rapporto del terzo al quarto   o se il prodotto  del primo e del quarto  è uguale al prodotto del secondo per il terzo

INSIEMI EQUIPOTENTI

DUE INSIEMI FRA SI POSSA STABILIRE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA  SI DICONO EQUIPOTENTI

HANNO CIOE' LO STESSO NUMERO DI ELEMENTI