geometria le figure uguali - il movimento

Le figure uguali - il movimento

I ragionamento di figure uguali è complesso  se lo si vuole trattare da un punto di vista razionale.

Nel momento in cui si parla di movimento dei corpi bisogna precisare la differenza tra i corpi rigidi e quelli deformabili. Si tratta di movimenti  effettuati con corpi rigidi nel piano  e nello spazio (movimenti rigidi). Anche le figure geometriche vanno pensati come corpi rigidi che possono essere assoggettate a movimenti  che le trasferiscono da una zona ad un'altra  del piano e dello spazio.
L'idea di movimento (rigido) di una figura geometria viene introdotta come concetto primitivo.

Diremo uguali due figure quando con un movimento è possibile portare una di esse a coincidere  punto per punto  con l'altra

Ciò significa che  a movimento compiuto ogni punto A della prima figura F si identifica  con un punto  A' della seconda figura F'  e che ogni punto B' della F' coincide con un punto B della F. I punti A;B....... della figura F si dicono corrispondenti od omologhi rispettivamente dei punti A';B' della figura F'.

POSTULATO. l'uguaglianza delle figure gode delle tre seguenti proprietà :

Ogni figura è uguale a se stessa (proprietà riflessiva dell'uguaglianza);

Se una prima figura è uguale ad una seconda, anche la seconda è uguale alla prima (proprietà simmetrica dell'uguaglianza);

Se una prima figura è uguale ad una seconda e questa è uguale ad una terza allora la prima è uguale alla terza (proprietà transitiva dell'uguaglianza).

Nella geometria piana i possibili movimenti dovrebbero essere soltanto quelli  che consentono di spostare una figura  facendola strisciare sul piano  cui essa appartiene  cioè quelli che fanno muovere  il piano su se stesso.
Tuttavia introduce un'eccezione  il ribaltamento del piano  cioè quel movimento che si adopera ogni volta che si volta la pagina di un libro.

formule - addizione e sottrazione letterale

formule - addizione e sottrazione letterale

(+ a) + (+b) = a + b

(+ a) + (- b) = a - b = - (b - a)

(- a) + (- b) = - (a + b)

(+ a) - (- b) = a + b

(- a) - (- b) = - a + b = - (a - b)

a +  b  = a  + b
m   m    m    m

geometria - gli insiemi

geometria - gli insiemi

Nella matematica si usa il vocabolo insieme per indicare un qualunque raggruppamento di enti comunque scelti. Ad esempio si parla dell'insieme dei numeri naturali, dell'insieme dei  triangoli , dell'insieme dei punti di un cerchio, dell'insieme dei vertici di un poligono.
Gli enti che, nel loro complesso formano  un insieme si dicono  elementi di quell'insieme.
Un insieme si dice finito se l'elenco  dei suoi insiemi ha un termine, infinito in caso contrario. Ad esempio  è finito l'insieme dei vertici di un poligono mentre è infinito  l'insieme dei triangoli.
Un insieme  finito può venire indicato  racchiudendo tra i due segni di parentesi graffa gli elementi che lo contengono

A = {1,3,5}

Noi intendiamo significare che un insieme  A  ha per elementi  i primi tre numeri naturali dispari.

Fra gli insiemi  si considera anche quello privo di elementi  o insieme vuoto  che viene indicato con il simbolo
Ø Ad esempio è vuoto un insieme di triangoli aventi due angoli retto oppure l'insieme dei punti comuni a due circonferenze concentriche di raggio diverso.

Se consideriamo  l'insieme T dei triangoli  e l'insieme P dei poligoni ci accorgiamo che si verifica una situazione particolare: poiché ogni triangolo è pure un poligono si ha che ogni elemento di T è anche elemento di P. Si dice che T è sottoinsieme di P ovvero T è incluso in P.

In generale un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B se ogni elemento di A è pure elemento di B. Ad esempio  l'insieme 
{2,4} è incluso  nell'insieme {2,4,6,8}l'insieme delle lettere della parola RAMO  è  sottoinsieme delle lettere della parola AMORE.
  
 

geometria - postulati o assiomi

geometria - postulati o assiomi

Abbiamo visto che per definire un ente geometrico occorre far riferimento ad altri enti precedentemente introdotti  che, a loro volta. possono essere definiti solo facendo ricorso ad altri fi modo che di concetto in concetto si deve necessariamente risalire a concetti primitivi.
In modo del tutto analogo, per dimostrare  una data proprietà  ci si deve riferire ad altre proprietà precedentemente  dimostrate che a loro volta dipendono da altre.
Si viene così a costruire  con un procedimento a ritroso una successione di proprietà che non può chiaramente estendersi all'infinito  Per cui è necessario che alcune proprietà iniziali  vengano introdotte senza darne una dimostrazione.
tali proprietà primitive vengono chiamati postulati o assiomi.
I postulati esprimono le prime proprietà dei rami della geometria e generalmente forniscono notizie riguardanti gli enti primitivi. Ad esempio noi dopo aver introdotto la retta come concetto primitivo  ammetteremo che dati due punti A e B  esiste una e una sola retta che li contiene entrambi .
Tale proposizione è chiaramente indimostrabile dato che non solo non conosciamo  alcun'altra proprietà delle rette alla quale appoggiare un qualunque ragionamento in merito ma addirittura ignoriamo per mancanza di definizione cosa siano effettivamente i punti e le rette.
Si osservi a tal proposito  che il discorso geometrico ha grossolanamente un inizio  del tipo seguente : noi intendiamo trattare di certi enti xyz di cui non diamo nessuna definizione  ma dei quali precisiamo che godono delle proprietà abc . E' ovvio che non ha alcun senso  il cercare di dimostrare tale proprietà (postulati). e ciò non solo per  l'insistenza di proprietà precedenti cui appoggiare il ragionamento ma soprattutto  perché i postulati esprimono certe caratteristiche soggettivamente attribuite ad enti di natura imprecisata.
Per esempio se dicessimo :"noi vogliamo  ragionare su certi oggetti che supponiamo siano solidi di color rosso elettrizzati positivamente ecc.2 che significato avrebbe dimostrare che il colore di questi oggetti è rosso perché la scelta del colore è casuale.

Da quanto esposto  dovrebbe risultare chiaro che  i postulati  fornendo una serie di precisazioni circa gli enti primitivi li delimitano e li caratterizzano togliendo  loro buona parte di quella arbitrarietà che sembrava assoluta allorché  essi erano stati introdotti. Si può asserire che i postulati danno una definizione implicita degli enti primitivi