formule - addizione e sottrazione letterale
(+ a) + (+b) = a + b
(+ a) + (- b) = a - b = - (b - a)
(- a) + (- b) = - (a + b)
(+ a) - (- b) = a + b
(- a) - (- b) = - a + b = - (a - b)
a + b = a + b
m m m m
mercoledì 7 giugno 2017
geometria - gli insiemi
geometria - gli insiemi
Nella matematica si usa il vocabolo insieme per indicare un qualunque raggruppamento di enti comunque scelti. Ad esempio si parla dell'insieme dei numeri naturali, dell'insieme dei triangoli , dell'insieme dei punti di un cerchio, dell'insieme dei vertici di un poligono.
Gli enti che, nel loro complesso formano un insieme si dicono elementi di quell'insieme.
Un insieme si dice finito se l'elenco dei suoi insiemi ha un termine, infinito in caso contrario. Ad esempio è finito l'insieme dei vertici di un poligono mentre è infinito l'insieme dei triangoli.
Un insieme finito può venire indicato racchiudendo tra i due segni di parentesi graffa gli elementi che lo contengono
A = {1,3,5}
Noi intendiamo significare che un insieme A ha per elementi i primi tre numeri naturali dispari.
Fra gli insiemi si considera anche quello privo di elementi o insieme vuoto che viene indicato con il simbolo
Ø Ad esempio è vuoto un insieme di triangoli aventi due angoli retto oppure l'insieme dei punti comuni a due circonferenze concentriche di raggio diverso.
Se consideriamo l'insieme T dei triangoli e l'insieme P dei poligoni ci accorgiamo che si verifica una situazione particolare: poiché ogni triangolo è pure un poligono si ha che ogni elemento di T è anche elemento di P. Si dice che T è sottoinsieme di P ovvero T è incluso in P.
In generale un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B se ogni elemento di A è pure elemento di B. Ad esempio l'insieme
{2,4} è incluso nell'insieme {2,4,6,8}l'insieme delle lettere della parola RAMO è sottoinsieme delle lettere della parola AMORE.
Nella matematica si usa il vocabolo insieme per indicare un qualunque raggruppamento di enti comunque scelti. Ad esempio si parla dell'insieme dei numeri naturali, dell'insieme dei triangoli , dell'insieme dei punti di un cerchio, dell'insieme dei vertici di un poligono.
Gli enti che, nel loro complesso formano un insieme si dicono elementi di quell'insieme.
Un insieme si dice finito se l'elenco dei suoi insiemi ha un termine, infinito in caso contrario. Ad esempio è finito l'insieme dei vertici di un poligono mentre è infinito l'insieme dei triangoli.
Un insieme finito può venire indicato racchiudendo tra i due segni di parentesi graffa gli elementi che lo contengono
A = {1,3,5}
Noi intendiamo significare che un insieme A ha per elementi i primi tre numeri naturali dispari.
Fra gli insiemi si considera anche quello privo di elementi o insieme vuoto che viene indicato con il simbolo
Ø Ad esempio è vuoto un insieme di triangoli aventi due angoli retto oppure l'insieme dei punti comuni a due circonferenze concentriche di raggio diverso.
Se consideriamo l'insieme T dei triangoli e l'insieme P dei poligoni ci accorgiamo che si verifica una situazione particolare: poiché ogni triangolo è pure un poligono si ha che ogni elemento di T è anche elemento di P. Si dice che T è sottoinsieme di P ovvero T è incluso in P.
In generale un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B se ogni elemento di A è pure elemento di B. Ad esempio l'insieme
{2,4} è incluso nell'insieme {2,4,6,8}l'insieme delle lettere della parola RAMO è sottoinsieme delle lettere della parola AMORE.
martedì 6 giugno 2017
geometria - postulati o assiomi
geometria - postulati o assiomi
Abbiamo visto che per definire un ente geometrico occorre far riferimento ad altri enti precedentemente introdotti che, a loro volta. possono essere definiti solo facendo ricorso ad altri fi modo che di concetto in concetto si deve necessariamente risalire a concetti primitivi.
In modo del tutto analogo, per dimostrare una data proprietà ci si deve riferire ad altre proprietà precedentemente dimostrate che a loro volta dipendono da altre.
Si viene così a costruire con un procedimento a ritroso una successione di proprietà che non può chiaramente estendersi all'infinito Per cui è necessario che alcune proprietà iniziali vengano introdotte senza darne una dimostrazione.
tali proprietà primitive vengono chiamati postulati o assiomi.
I postulati esprimono le prime proprietà dei rami della geometria e generalmente forniscono notizie riguardanti gli enti primitivi. Ad esempio noi dopo aver introdotto la retta come concetto primitivo ammetteremo che dati due punti A e B esiste una e una sola retta che li contiene entrambi .
Tale proposizione è chiaramente indimostrabile dato che non solo non conosciamo alcun'altra proprietà delle rette alla quale appoggiare un qualunque ragionamento in merito ma addirittura ignoriamo per mancanza di definizione cosa siano effettivamente i punti e le rette.
Si osservi a tal proposito che il discorso geometrico ha grossolanamente un inizio del tipo seguente : noi intendiamo trattare di certi enti xyz di cui non diamo nessuna definizione ma dei quali precisiamo che godono delle proprietà abc . E' ovvio che non ha alcun senso il cercare di dimostrare tale proprietà (postulati). e ciò non solo per l'insistenza di proprietà precedenti cui appoggiare il ragionamento ma soprattutto perché i postulati esprimono certe caratteristiche soggettivamente attribuite ad enti di natura imprecisata.
Per esempio se dicessimo :"noi vogliamo ragionare su certi oggetti che supponiamo siano solidi di color rosso elettrizzati positivamente ecc.2 che significato avrebbe dimostrare che il colore di questi oggetti è rosso perché la scelta del colore è casuale.
Da quanto esposto dovrebbe risultare chiaro che i postulati fornendo una serie di precisazioni circa gli enti primitivi li delimitano e li caratterizzano togliendo loro buona parte di quella arbitrarietà che sembrava assoluta allorché essi erano stati introdotti. Si può asserire che i postulati danno una definizione implicita degli enti primitivi
Abbiamo visto che per definire un ente geometrico occorre far riferimento ad altri enti precedentemente introdotti che, a loro volta. possono essere definiti solo facendo ricorso ad altri fi modo che di concetto in concetto si deve necessariamente risalire a concetti primitivi.
In modo del tutto analogo, per dimostrare una data proprietà ci si deve riferire ad altre proprietà precedentemente dimostrate che a loro volta dipendono da altre.
Si viene così a costruire con un procedimento a ritroso una successione di proprietà che non può chiaramente estendersi all'infinito Per cui è necessario che alcune proprietà iniziali vengano introdotte senza darne una dimostrazione.
tali proprietà primitive vengono chiamati postulati o assiomi.
I postulati esprimono le prime proprietà dei rami della geometria e generalmente forniscono notizie riguardanti gli enti primitivi. Ad esempio noi dopo aver introdotto la retta come concetto primitivo ammetteremo che dati due punti A e B esiste una e una sola retta che li contiene entrambi .
Tale proposizione è chiaramente indimostrabile dato che non solo non conosciamo alcun'altra proprietà delle rette alla quale appoggiare un qualunque ragionamento in merito ma addirittura ignoriamo per mancanza di definizione cosa siano effettivamente i punti e le rette.
Si osservi a tal proposito che il discorso geometrico ha grossolanamente un inizio del tipo seguente : noi intendiamo trattare di certi enti xyz di cui non diamo nessuna definizione ma dei quali precisiamo che godono delle proprietà abc . E' ovvio che non ha alcun senso il cercare di dimostrare tale proprietà (postulati). e ciò non solo per l'insistenza di proprietà precedenti cui appoggiare il ragionamento ma soprattutto perché i postulati esprimono certe caratteristiche soggettivamente attribuite ad enti di natura imprecisata.
Per esempio se dicessimo :"noi vogliamo ragionare su certi oggetti che supponiamo siano solidi di color rosso elettrizzati positivamente ecc.2 che significato avrebbe dimostrare che il colore di questi oggetti è rosso perché la scelta del colore è casuale.
Da quanto esposto dovrebbe risultare chiaro che i postulati fornendo una serie di precisazioni circa gli enti primitivi li delimitano e li caratterizzano togliendo loro buona parte di quella arbitrarietà che sembrava assoluta allorché essi erano stati introdotti. Si può asserire che i postulati danno una definizione implicita degli enti primitivi
geometria - i teoremi inversi
geometria - i teoremi inversi
Consideriamo l'implicazione logica espressa nel proverbio "chi dorme non piglia pesci".
Dall'ipotesi una persona dorme discende la tesi non piglia pesci.
Proviamo a rovesciare il discorso cioè a scambiare l'ipotesi con la tesi. Me viene fuori l'implicazione inversa chi non piglia pesci dorme ma questo non è esatto non tutti quelli che non pigliano pesci stanno dormendo.
Mentre se prendiamo il teorema " se due corde di un cerchio sono uguali esse hanno uguali distanze dal centro ".
Scambiando l'ipotesi con la tesi si ottiene il teorema inverso se due corde di un cerchio hanno uguali distanze dal centro sono uguali infatti anche questo teorema è vero.
Quando due teoremi uno inverso dell'altro sono entrambi veri si conviene enunciarli insieme facendo precedere l'enunciato di uno solo di essi dalla locazione condizione necessaria e sufficiente.
Non sempre per un teorema diretto ne esiste uno inverso.
Consideriamo l'implicazione logica espressa nel proverbio "chi dorme non piglia pesci".
Dall'ipotesi una persona dorme discende la tesi non piglia pesci.
Proviamo a rovesciare il discorso cioè a scambiare l'ipotesi con la tesi. Me viene fuori l'implicazione inversa chi non piglia pesci dorme ma questo non è esatto non tutti quelli che non pigliano pesci stanno dormendo.
Mentre se prendiamo il teorema " se due corde di un cerchio sono uguali esse hanno uguali distanze dal centro ".
Scambiando l'ipotesi con la tesi si ottiene il teorema inverso se due corde di un cerchio hanno uguali distanze dal centro sono uguali infatti anche questo teorema è vero.
Quando due teoremi uno inverso dell'altro sono entrambi veri si conviene enunciarli insieme facendo precedere l'enunciato di uno solo di essi dalla locazione condizione necessaria e sufficiente.
Non sempre per un teorema diretto ne esiste uno inverso.
lunedì 5 giugno 2017
geometria - i corollari
geometria - i corollari
in certi casi accade che, una volta dimostrato un teorema da questo conseguano altri teoremi in modo tanto immediato che le relative dimostrazioni possono essere del tutto omesse o appena accennate. tali proposizioni, che sono immediate conseguenze di un precedente teorema sono dette suoi corollari.
Ad esempio una volta dimostrato il teorema: "in un triangolo ad angolo maggiore corrisponde il lato maggior" di può subito dedurre il corollario: "l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore di ciascuno dei due cateti".
si può ricordare che essendo retto l'angolo opposto all'ipotenusa esso è maggiore degli angoli opposti ai cateti che sono acuti.
Si noti che è piuttosto soggettivo lo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un'altra preposizione ammessa in precedenza. Per questo motivo la distinzione tra teoremi veri e propri e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.
Certe proprietà degli enti geometrici sono espresse da proporzioni non dimostrabili che chiameremo postulati o assiomi. Anche da tali proprietà discendono conseguenze del tutto immediate.
Esse pure vengono dette corollari.
in certi casi accade che, una volta dimostrato un teorema da questo conseguano altri teoremi in modo tanto immediato che le relative dimostrazioni possono essere del tutto omesse o appena accennate. tali proposizioni, che sono immediate conseguenze di un precedente teorema sono dette suoi corollari.
Ad esempio una volta dimostrato il teorema: "in un triangolo ad angolo maggiore corrisponde il lato maggior" di può subito dedurre il corollario: "l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore di ciascuno dei due cateti".
si può ricordare che essendo retto l'angolo opposto all'ipotenusa esso è maggiore degli angoli opposti ai cateti che sono acuti.
Si noti che è piuttosto soggettivo lo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un'altra preposizione ammessa in precedenza. Per questo motivo la distinzione tra teoremi veri e propri e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.
Certe proprietà degli enti geometrici sono espresse da proporzioni non dimostrabili che chiameremo postulati o assiomi. Anche da tali proprietà discendono conseguenze del tutto immediate.
Esse pure vengono dette corollari.
geometria - i teoremi
geometria - i teoremi
"riscaldando un corpo solido si dilata"
Il prodursi del primo fatto implica il verificarsi del secondo. Per questo motivo questa frase prende il nome di implicazioni logiche o semplicemente implicazioni.
La prima delle situazioni considerate si chiama ipotesi. La seconda si dice tesi.
L'ipotesi riscaldo un corpo solido
la tesi il corpo si dilata.
Nelle implicazioni logiche di tipo matematico la dipendenza della tesi dalla relativa ipotesi non viene accettata perché la cosa è evidente o perché l'esperienza ripetuta ci prova che tale dipendenza effettivamente sussiste, bensì in virtù di un preciso ragionamento che viene detto dimostrazione.
Le implicazioni logiche che possono essere provate mediante una dimostrazione si chiamano teoremi.
In un teorema la proposizione che si intende dimostrare viene detta enunciato del teorema stesso.
"riscaldando un corpo solido si dilata"
Il prodursi del primo fatto implica il verificarsi del secondo. Per questo motivo questa frase prende il nome di implicazioni logiche o semplicemente implicazioni.
La prima delle situazioni considerate si chiama ipotesi. La seconda si dice tesi.
L'ipotesi riscaldo un corpo solido
la tesi il corpo si dilata.
Nelle implicazioni logiche di tipo matematico la dipendenza della tesi dalla relativa ipotesi non viene accettata perché la cosa è evidente o perché l'esperienza ripetuta ci prova che tale dipendenza effettivamente sussiste, bensì in virtù di un preciso ragionamento che viene detto dimostrazione.
Le implicazioni logiche che possono essere provate mediante una dimostrazione si chiamano teoremi.
In un teorema la proposizione che si intende dimostrare viene detta enunciato del teorema stesso.
i concetti primitivi - geometria
i concetti primitivi - geometria
Vogliamo ora mostrare come non sia possibile definire tutti i concetti che figurano in una data materia. In particolare ci interessa chiarire la definizione di tutti i concetti geometrici.
Quindi per definire un quadrato dobbiamo conoscere i concetti di angolo lato uguaglianza. Di conseguenza prima di parlare del quadrato dobbiamo precisare che " un quadrilatero è un poligono che ha quattro vertici " che "un suo lato è il segmento che per estremi due vertici consecutivi" ecc.
Ma anche queste definizioni presuppongono la conoscenza di altri termini geometrici (poligono vertice segmento) i quali pure possono essere introdotti solo mediante l'ausilio di altri enti che, a loro volta, sono definibili facendo riferimento a concetti precedentemente considerati.
Tale procedimento a ritroso col quale stabiliamo un possibile ordine secondo cui vanno introdotti e definiti i diversi termini del discorso geometrico non può evidentemente continuare all'infinito.
In altre parole è necessario che di alcuni concetti (detti concetti o enti primitivi) non venga data alcuna definizione,.
Essi costituiranno la base su cui costruire altre definizioni.
Vogliamo ora mostrare come non sia possibile definire tutti i concetti che figurano in una data materia. In particolare ci interessa chiarire la definizione di tutti i concetti geometrici.
Quindi per definire un quadrato dobbiamo conoscere i concetti di angolo lato uguaglianza. Di conseguenza prima di parlare del quadrato dobbiamo precisare che " un quadrilatero è un poligono che ha quattro vertici " che "un suo lato è il segmento che per estremi due vertici consecutivi" ecc.
Ma anche queste definizioni presuppongono la conoscenza di altri termini geometrici (poligono vertice segmento) i quali pure possono essere introdotti solo mediante l'ausilio di altri enti che, a loro volta, sono definibili facendo riferimento a concetti precedentemente considerati.
Tale procedimento a ritroso col quale stabiliamo un possibile ordine secondo cui vanno introdotti e definiti i diversi termini del discorso geometrico non può evidentemente continuare all'infinito.
In altre parole è necessario che di alcuni concetti (detti concetti o enti primitivi) non venga data alcuna definizione,.
Essi costituiranno la base su cui costruire altre definizioni.
domenica 4 giugno 2017
definizioni in geometria
definizioni in geometria
Una definizione è una frase nella quale si spiega qual è la natura di un certo ente e si attribuisce ad esso il nome che lo contraddistingue.
La definizione chiarisce qual è il significato dell'ente preso in esame utilizzando la conoscenza di altri enti (o concetti o cose).
Così per spiegare che cos'è il vento? possiamo dire che un movimento di masse d'aria dovuto a diverso riscaldamento delle diverse zone della terra.
che cos'è il quadrato ? un quadrato è un quadrilatero con i lati uguali e gli angoli uguali.
per spiegare che cos'è il vento abbiamo supposto che il lettore fosse a conoscenza dei vocaboli movimento, masse, aria, riscaldamento, Terra. Allo stesso modo la definizione che abbiamo dato del quadrato è intellegibile solo se sono noti i concetti di quadrilatero, lato angolo, uguaglianza.
Una definizione è una frase nella quale si spiega qual è la natura di un certo ente e si attribuisce ad esso il nome che lo contraddistingue.
La definizione chiarisce qual è il significato dell'ente preso in esame utilizzando la conoscenza di altri enti (o concetti o cose).
Così per spiegare che cos'è il vento? possiamo dire che un movimento di masse d'aria dovuto a diverso riscaldamento delle diverse zone della terra.
che cos'è il quadrato ? un quadrato è un quadrilatero con i lati uguali e gli angoli uguali.
per spiegare che cos'è il vento abbiamo supposto che il lettore fosse a conoscenza dei vocaboli movimento, masse, aria, riscaldamento, Terra. Allo stesso modo la definizione che abbiamo dato del quadrato è intellegibile solo se sono noti i concetti di quadrilatero, lato angolo, uguaglianza.
i fondamenti della geometria
i fondamenti della geometria
La geometria intuitiva ( cioè la geometria studiata col metodo intuitivo) cerca di stabilire le proprietà dei corpi e delle figure in base alla esperienza che ce ne dànno i nostri sensi, cioè in base all'osservazione attenta di corpi aventi forme particolari e di figure aventi certe caratteristiche. Da queste osservazioni sperimentali la geometria deriva le regole e le definizioni come generalizzazione suggerita dall'intuizione delle proprietà osservate.
La geometria razionale (cioè studiata con il metodo razionale) si riferisce invece a figure ideali che sono delle pure e semplici astrazioni della mente. Di esse noi troviamo nella realtà fisica delle imitazioni grossolane e approssimate.
Le proprietà di queste figure non vengono stabilite in base all'esperienza ma sono in virtù di precisi ragionamenti che trascurano tutto ciò che in particolare ha la figura presa in esame e si basano soltanto sulle sue proprietà generali. In tal modo il ragionamento assume un carattere universale. Cioè senza possibilità di errore tanto per quella figura quanto per tutte le altre che godono delle stesse proprietà.
Geometria intuitiva e geometria razionale
La geometria intuitiva ( cioè la geometria studiata col metodo intuitivo) cerca di stabilire le proprietà dei corpi e delle figure in base alla esperienza che ce ne dànno i nostri sensi, cioè in base all'osservazione attenta di corpi aventi forme particolari e di figure aventi certe caratteristiche. Da queste osservazioni sperimentali la geometria deriva le regole e le definizioni come generalizzazione suggerita dall'intuizione delle proprietà osservate.
La geometria razionale (cioè studiata con il metodo razionale) si riferisce invece a figure ideali che sono delle pure e semplici astrazioni della mente. Di esse noi troviamo nella realtà fisica delle imitazioni grossolane e approssimate.
Le proprietà di queste figure non vengono stabilite in base all'esperienza ma sono in virtù di precisi ragionamenti che trascurano tutto ciò che in particolare ha la figura presa in esame e si basano soltanto sulle sue proprietà generali. In tal modo il ragionamento assume un carattere universale. Cioè senza possibilità di errore tanto per quella figura quanto per tutte le altre che godono delle stesse proprietà.
origini della geometria
origini della geometria
La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (Ghe = terra e metron =misura) .
Nacque per esigenza nell'antichità di stabilire regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.
Non vi è però una testimonianza certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.
Possiamo affermare con sicurezza che gli antichi Egiziani possedevano alcuni elementi di questa materia.
Lo documentano diversi papiri e in particolare il papiro di Rgind ( della lunghezza di circa 20 metri e che si conserva nel British Museum di Londra ( nel quale è contenuto il libro di calcolo di Ahmes così chiamato lo scriba che trascrisse un teso che già aveva alcuni secoli di vita. In esso sono riportate le regole per la misura di campi quadrangolari e triangolari nonché elementi del calcolo con le frazioni e misure di certi solidi.
Notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi ci provengono da Erodoto e da Proclo.
Quest'ultimo è considerato il più autorevole storico delle antiche matematiche così scrive : "seguendo la tradizione generale diremo che gli Egiziani furono i primi inventori della geometria e che essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare per le inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà".
Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare e precisamente sapevano che un triangolo con i lati lunghi 3, 4 , 5 volte una certa unità di misura è rettangolo.
Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con corde e picchetti un triangolo di tale tipo in questo modo disegnavano angoli retti che servivano come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e templi.
Ciò conferma il pensiero di Proclo secondo cui la geometria egiziana aveva solo carattere pratico.
Solo più tardi nell'antica Grecia la geometria si sviluppò come scienza pura e venne studiata in modo autonomo prescindendo dai problemi pratici. I greci riorganizzarono l'intero edificio geometrico passando per primi da una esposizione frammentaria ad una rigorosa. L'opera fondamentale è costruita dagli elementi di Euclide.
Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo a.C. sono state per oltre venti secoli un vero e proprio modello per tutti gli studiosi.
Proprio per l'importanza dell'opera di Euclide dividiamo la storia in due periodi: pre-euclideo e euclideo.
La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (Ghe = terra e metron =misura) .
Nacque per esigenza nell'antichità di stabilire regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.
Non vi è però una testimonianza certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.
Possiamo affermare con sicurezza che gli antichi Egiziani possedevano alcuni elementi di questa materia.
Lo documentano diversi papiri e in particolare il papiro di Rgind ( della lunghezza di circa 20 metri e che si conserva nel British Museum di Londra ( nel quale è contenuto il libro di calcolo di Ahmes così chiamato lo scriba che trascrisse un teso che già aveva alcuni secoli di vita. In esso sono riportate le regole per la misura di campi quadrangolari e triangolari nonché elementi del calcolo con le frazioni e misure di certi solidi.
Notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi ci provengono da Erodoto e da Proclo.
Quest'ultimo è considerato il più autorevole storico delle antiche matematiche così scrive : "seguendo la tradizione generale diremo che gli Egiziani furono i primi inventori della geometria e che essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare per le inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà".
Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare e precisamente sapevano che un triangolo con i lati lunghi 3, 4 , 5 volte una certa unità di misura è rettangolo.
Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con corde e picchetti un triangolo di tale tipo in questo modo disegnavano angoli retti che servivano come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e templi.
Ciò conferma il pensiero di Proclo secondo cui la geometria egiziana aveva solo carattere pratico.
Solo più tardi nell'antica Grecia la geometria si sviluppò come scienza pura e venne studiata in modo autonomo prescindendo dai problemi pratici. I greci riorganizzarono l'intero edificio geometrico passando per primi da una esposizione frammentaria ad una rigorosa. L'opera fondamentale è costruita dagli elementi di Euclide.
Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo a.C. sono state per oltre venti secoli un vero e proprio modello per tutti gli studiosi.
Proprio per l'importanza dell'opera di Euclide dividiamo la storia in due periodi: pre-euclideo e euclideo.
venerdì 26 maggio 2017
ripasso aritmetica I°
ripasso aritmetica
i numeri razionali assoluti sono tutti numeri interi e frazionari
ADDIZIONE
a) proprietà commutativa : la somma di più numeri non cambia se si cambia il numero degli addendi
b) proprietà associativa : la somma di più numeri non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma
c) proprietà dissociativa: La somma di più numeri non cambia se un suo addendo viene sostituito con due o più altri addendi la cui somma sia uguale all'addendo sostituito.
La somma di qualsiasi numero e dello zero è uguale al numero considerato.
MOLTIPLICAZIONE
a) proprietà commutativa : Il prodotto di due o più numeri non dipende dall'ordine dei fattori
b) proprietà associativa : il prodotto di due o più numeri non cambia se a due o a più fattori si sostituisce il loro prodotto
c) proprietà dissociativa : il prodotto di più numeri non cambia se un fattore si sostituisce con due o più fattori il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito
d) proprietà distributiva : Il prodotto di una somma per un numero è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ordinatamente gli addendi della somma data per quel numeri
EQUIVALENZE
unità di misura
derivate dal metro
Mm miriametro 10.000 metri
km chilometro 1.000 metri
hm ettometro 100 metri
dam decametro 10 metri
m metro 1 metro
dm decimetro 0,1 metro
cm centimetro 0.01 metro
mm millimetro 0,001 metro
per la superficie diventeranno km^2 , m^2 ecc. nei solidi Km^3 m^3 ecc.
misure agrarie
ha ettaro 10.000 metri quadrati
a ara 100 metri quadrati
ca centiara 1 metro quadrato
derivati dal litro
kl chilolitro 1000 litri
hl ettolitro 100 litri
dal decalitro 10 litri
l litro 1 litro
dl decilitro 0,1 litro
cl centilitro 0,01 litro
ml millilitro 0.001 litro
derivati dal grammo
t tonnellata 1000.000 grammi
q quintale 100.000 grammi
Mg miriagrammo 10.000 grammi
kg chilogrammo 1000 grammi
hg ettogrammo 100 grammi
dag decagrammo 10 grammi
g grammo 1 grammo
dg decigrammo 0,1 grammi
cg centigrammo 0,01 grammi
mg millligrammo 0,001 grammi
peso specifico
Ps = P:V peso specifico = peso : volume
P= Ps x V peso = peso specifico x volume
V= P: Ps volume = perso : peso specifico
i numeri primi sono numeri divisibili per 1 o per se stessi
scomporre un numero in fattori primi significa cercare i fattori primi contenuti esattamente nel numero dato e scrivere il numero in stesso come prodotto di divisori primi
un numero è divisibile per un altro quando, scomposti entrambi in fattori primi il primo contiene tutti i fattori del secondo ognuno con esponente maggiore o uguale a quello con cui figura nel secondo
MCD = MASSIMO COMUN DIVISORE
il più grande numero contenuti in due o più numeri dati si trova scomponendo in fattori primi moltiplicando tra loro i fattori comuni con il minimo esponente
MCM = MINIMO COMUNE MULTIPLO
il minor numero che contiene tutti i numeri dati si calcola scomponendo i numero in fattori primi e si moltiplicano fra lor i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente
UNITA' FRAZIONARIA
ciascuna delle parti ottenute dividendo l'unità intera in un certo numero di parti
il numero delle parti prese in considerazione è numeratore
il numero delle parti in cui è divisa l'unità è denominatore
un unità frazionaria con stesso numeratore e denominatore è una parte intera
frazione propria il numeratore è minore del denominatore
frazione improprio il numeratore è maggiore del denominatore
frazione apparente il numeratore è multiplo del denominatore
Il valore di una frazione non cambia se moltiplichiamo o dividiamo i due termini per uno stesso numero
i numeri razionali assoluti sono tutti numeri interi e frazionari
ADDIZIONE
a) proprietà commutativa : la somma di più numeri non cambia se si cambia il numero degli addendi
b) proprietà associativa : la somma di più numeri non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma
c) proprietà dissociativa: La somma di più numeri non cambia se un suo addendo viene sostituito con due o più altri addendi la cui somma sia uguale all'addendo sostituito.
La somma di qualsiasi numero e dello zero è uguale al numero considerato.
MOLTIPLICAZIONE
a) proprietà commutativa : Il prodotto di due o più numeri non dipende dall'ordine dei fattori
b) proprietà associativa : il prodotto di due o più numeri non cambia se a due o a più fattori si sostituisce il loro prodotto
c) proprietà dissociativa : il prodotto di più numeri non cambia se un fattore si sostituisce con due o più fattori il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito
d) proprietà distributiva : Il prodotto di una somma per un numero è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ordinatamente gli addendi della somma data per quel numeri
EQUIVALENZE
unità di misura
derivate dal metro
Mm miriametro 10.000 metri
km chilometro 1.000 metri
hm ettometro 100 metri
dam decametro 10 metri
m metro 1 metro
dm decimetro 0,1 metro
cm centimetro 0.01 metro
mm millimetro 0,001 metro
per la superficie diventeranno km^2 , m^2 ecc. nei solidi Km^3 m^3 ecc.
misure agrarie
ha ettaro 10.000 metri quadrati
a ara 100 metri quadrati
ca centiara 1 metro quadrato
derivati dal litro
kl chilolitro 1000 litri
hl ettolitro 100 litri
dal decalitro 10 litri
l litro 1 litro
dl decilitro 0,1 litro
cl centilitro 0,01 litro
ml millilitro 0.001 litro
derivati dal grammo
t tonnellata 1000.000 grammi
q quintale 100.000 grammi
Mg miriagrammo 10.000 grammi
kg chilogrammo 1000 grammi
hg ettogrammo 100 grammi
dag decagrammo 10 grammi
g grammo 1 grammo
dg decigrammo 0,1 grammi
cg centigrammo 0,01 grammi
mg millligrammo 0,001 grammi
peso specifico
Ps = P:V peso specifico = peso : volume
P= Ps x V peso = peso specifico x volume
V= P: Ps volume = perso : peso specifico
i numeri primi sono numeri divisibili per 1 o per se stessi
scomporre un numero in fattori primi significa cercare i fattori primi contenuti esattamente nel numero dato e scrivere il numero in stesso come prodotto di divisori primi
un numero è divisibile per un altro quando, scomposti entrambi in fattori primi il primo contiene tutti i fattori del secondo ognuno con esponente maggiore o uguale a quello con cui figura nel secondo
MCD = MASSIMO COMUN DIVISORE
il più grande numero contenuti in due o più numeri dati si trova scomponendo in fattori primi moltiplicando tra loro i fattori comuni con il minimo esponente
MCM = MINIMO COMUNE MULTIPLO
il minor numero che contiene tutti i numeri dati si calcola scomponendo i numero in fattori primi e si moltiplicano fra lor i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente
UNITA' FRAZIONARIA
ciascuna delle parti ottenute dividendo l'unità intera in un certo numero di parti
il numero delle parti prese in considerazione è numeratore
il numero delle parti in cui è divisa l'unità è denominatore
un unità frazionaria con stesso numeratore e denominatore è una parte intera
frazione propria il numeratore è minore del denominatore
frazione improprio il numeratore è maggiore del denominatore
frazione apparente il numeratore è multiplo del denominatore
Il valore di una frazione non cambia se moltiplichiamo o dividiamo i due termini per uno stesso numero
mercoledì 29 marzo 2017
gli insiemi matematici scuola superiore
gli insiemi matematici scuola superiore
Concetto di insieme
Sono fondamentali per la matematica moderno sia il concetto di insieme si a quello di elemento dell'insieme che noi assumiamo come concetti primitivi ossia non li definiamo in quanto costituiscono per noi il punto di partenza per definirne altri. Tuttavia riteniamo utile illustrare i due concetto con le parole stesse usate da Cantor : con i nome di insieme intendiamo ogni raccolta classe aggregato totalità I di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: Tali oggetti vengono chiamati gli elementi di I.
Gli elementi di un insieme (astratti o concreti) possono essere di natura qualsiasi purchè ben determinati; cioè che si sappia decidere senza ambiguità se un elemento appartiene o no all'insieme considerato: Pertanto un insieme reterà individuato quando si conoscono singolarmente gli elementi o perchè effettivamente elencati o perché assegnati mediante una proprietà caratteristica.
oppure può essere individuato assegnando la proprietà caratteristica di suoi elementi (numeri naturali maggiori di 2 e minori di 7)
I = 2< x < 7
(che si legge insieme formato dagli elementi x tali che siano compresi tra 2 e 7 )
non sarebbe esauriente perché non è indicato l'ambiente in cui bisogna trarre gli elementi x infatti x potrebbe indifferentemente rappresentare un numero naturale o solamente pari o solamente dispari o un numero razionale ecc.
La totalità degli elementi da cui bisogna trare quelli occorrenti per formare un insieme si dice insieme ambiente o insieme universo che indicheremo con U
E' molto comoda la rappresentazione grafica degli insiemi realizzata con i diagrammi di Venn secondo cui un insieme è raffigurato da una linea chiusa indicante I
Concetto di insieme
Sono fondamentali per la matematica moderno sia il concetto di insieme si a quello di elemento dell'insieme che noi assumiamo come concetti primitivi ossia non li definiamo in quanto costituiscono per noi il punto di partenza per definirne altri. Tuttavia riteniamo utile illustrare i due concetto con le parole stesse usate da Cantor : con i nome di insieme intendiamo ogni raccolta classe aggregato totalità I di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: Tali oggetti vengono chiamati gli elementi di I.
Gli elementi di un insieme (astratti o concreti) possono essere di natura qualsiasi purchè ben determinati; cioè che si sappia decidere senza ambiguità se un elemento appartiene o no all'insieme considerato: Pertanto un insieme reterà individuato quando si conoscono singolarmente gli elementi o perchè effettivamente elencati o perché assegnati mediante una proprietà caratteristica.
I = 2< x < 7
(che si legge insieme formato dagli elementi x tali che siano compresi tra 2 e 7 )
non sarebbe esauriente perché non è indicato l'ambiente in cui bisogna trarre gli elementi x infatti x potrebbe indifferentemente rappresentare un numero naturale o solamente pari o solamente dispari o un numero razionale ecc.
La totalità degli elementi da cui bisogna trare quelli occorrenti per formare un insieme si dice insieme ambiente o insieme universo che indicheremo con UE' molto comoda la rappresentazione grafica degli insiemi realizzata con i diagrammi di Venn secondo cui un insieme è raffigurato da una linea chiusa indicante I
lunedì 27 marzo 2017
monomi
Si dice monomio qualunque espressione algebrica in cui non figurano addizioni o sottrazioni
per esempio
10 a^3b e (2)a(+5)b
vediamo che ogni monomio si può presentare come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze di basi diverso.
2a^2b^2c
In questo caso il monomio si dice ridotto alla forma normale.
Si dice coefficiente di un monomio ridotto alla forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti.
Un monomio ridotto in forma normale si dice intero se le lettere non figurano al denominatore cioè se tutte le sue lettere hanno esponente positivo in caso contrario si dice frazionario
monomi interi
5a^2 - 3 x^2yz
4
monomi frazionari
2a^2 - 3y
b^3 4x
si dice grado di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere
si ricordi che ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1
7ab^2c^3 è 1+2+3 = 6
Il grado ora definito si dice grado complessivo.
Si dice invece grado di un monomio intero rispetto ad una lettera l'esponente di quella lettera
per esempio
3 a^3b^2c^
è di grado 3 rispetto alla lettera a
Se in un monomio manca una data lettera si dice di grado 0 rispetto a quella lettera
per esempio
3ab^2c^0 è zero rispetto alla lettera c che corrisponde a 1
per esempio
10 a^3b e (2)a(+5)b
vediamo che ogni monomio si può presentare come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze di basi diverso.
2a^2b^2c
In questo caso il monomio si dice ridotto alla forma normale.
Si dice coefficiente di un monomio ridotto alla forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti.
Un monomio ridotto in forma normale si dice intero se le lettere non figurano al denominatore cioè se tutte le sue lettere hanno esponente positivo in caso contrario si dice frazionario
monomi interi
5a^2 - 3 x^2yz
4
monomi frazionari
2a^2 - 3y
b^3 4x
si dice grado di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere
si ricordi che ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1
7ab^2c^3 è 1+2+3 = 6
Il grado ora definito si dice grado complessivo.
Si dice invece grado di un monomio intero rispetto ad una lettera l'esponente di quella lettera
per esempio
3 a^3b^2c^
è di grado 3 rispetto alla lettera a
Se in un monomio manca una data lettera si dice di grado 0 rispetto a quella lettera
per esempio
3ab^2c^0 è zero rispetto alla lettera c che corrisponde a 1
Espressioni algebriche
Espressioni algebriche
estendendo una locuzione introdotta nell' aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme di qualunque dei numeri relativi rappresentanti anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni. Un'espressione algebrica si dice razionale quando le operazioni da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione.
Il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono. Razionali, perché quando si opera con s su numeri razionali interi e frazionari si ottengono sempre numeri razionali. Un'espressione si dice intera se fai segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello di divisione in caso contrario l'espressione si dice frazionaria.
Attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire a quella lettera il numero dato. Quando le lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazioni indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice per valore numerico delle espressioni algebrica per i dati valori delle lettere. Naturalmente si suppone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibile altrimenti le espressioni perde di significato
Si consideri l'espressione
-3a + 2b^2 - 5 c
e si voglia calcolare il valore numerico attribuendo alle lettere i valori
a = - 2 b= + 1 c = - 3
3 4
facendo la sostituzione
- 3 (-2) + 2(+1)^2 - 5(-3)
3 4
facendo i calcoli
6 + 2 + 15= 359
9 4 36
estendendo una locuzione introdotta nell' aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme di qualunque dei numeri relativi rappresentanti anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni. Un'espressione algebrica si dice razionale quando le operazioni da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione.
Il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono. Razionali, perché quando si opera con s su numeri razionali interi e frazionari si ottengono sempre numeri razionali. Un'espressione si dice intera se fai segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello di divisione in caso contrario l'espressione si dice frazionaria.
Attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire a quella lettera il numero dato. Quando le lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazioni indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice per valore numerico delle espressioni algebrica per i dati valori delle lettere. Naturalmente si suppone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibile altrimenti le espressioni perde di significato
Si consideri l'espressione
-3a + 2b^2 - 5 c
e si voglia calcolare il valore numerico attribuendo alle lettere i valori
a = - 2 b= + 1 c = - 3
3 4
facendo la sostituzione
- 3 (-2) + 2(+1)^2 - 5(-3)
3 4
facendo i calcoli
6 + 2 + 15= 359
9 4 36
lunedì 23 gennaio 2017
frazioni decimali e numeri decimali
frazioni decimali e numeri decimali
FRAZIONI DECIMALI
Una frazione il cui denominatore sia 10 100 1000 ecc. cioè una potenza di 10 si dice frazione decimale. sono ad esempio frazioni decimali
9 13
10 100
le frazioni decimali
1 1
10 100
si dicono rispettivamente unita frazionarie decimali del primo ordine o dei decimi del secondo ordine o dei centesimi ecc.
e si indicano come voi già sapete con le scritture
0,1 0,01 ecc.
NUMERI DECIMALI
Poiché una frazione rappresenta il quoto della divisione del suo numeratore per il denominatore
3273 = 3273 :100 = 32,73
100
cioè
ogni frazione decimale si può porre sotto forma di numero decimale scrivendo il solo numeratore separando in esso con la virgola partendo da destra verso sinistra tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore.
Se è necessario si pongono degli zeri alla sinistra del numeratore. Ciò quando il numero delle cifre del numeratore e minore di quelle del denominatore si ha per esempio
37 = 0,037
1000
Un numero decimale è uguale alla frizione avente per numeratore un numero intero ottenuto sopprimendo in esso la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quanti sono le cifre decimali del numero decimale considerato.
3,72 = 372
100
FRAZIONI DECIMALI
Una frazione il cui denominatore sia 10 100 1000 ecc. cioè una potenza di 10 si dice frazione decimale. sono ad esempio frazioni decimali
9 13
10 100
le frazioni decimali
1 1
10 100
si dicono rispettivamente unita frazionarie decimali del primo ordine o dei decimi del secondo ordine o dei centesimi ecc.
e si indicano come voi già sapete con le scritture
0,1 0,01 ecc.
NUMERI DECIMALI
Poiché una frazione rappresenta il quoto della divisione del suo numeratore per il denominatore
3273 = 3273 :100 = 32,73
100
cioè
ogni frazione decimale si può porre sotto forma di numero decimale scrivendo il solo numeratore separando in esso con la virgola partendo da destra verso sinistra tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore.
Se è necessario si pongono degli zeri alla sinistra del numeratore. Ciò quando il numero delle cifre del numeratore e minore di quelle del denominatore si ha per esempio
37 = 0,037
1000
Un numero decimale è uguale alla frizione avente per numeratore un numero intero ottenuto sopprimendo in esso la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quanti sono le cifre decimali del numero decimale considerato.
3,72 = 372
100
mercoledì 13 luglio 2016
Misura del tempo
misura del tempo
la misura del tempo è cosa famigliare a tutti. Tutti avete idea di cosa siano il secondo il minuto l'ora il giorno la settimana il mese l'anno il secolo.
ogni intervallo di tempo si può misurare nel modo più opportuno talora conviene usare i giorni altre volte le ore spesso i secondi.
Comunque tutte le misure di tempo possono essere espresse in secondi.
Come mai questa scelta ? Forse il secondo è comodo perché no è molto diverso dall'intervallo di due battiti del cuore , ma la circostanza più importante è stata tratta dalle misurazioni del movimento del sole.
Gli astronomi hanno calcolato con grande precisione il tempo medio che passa tra l'istante esatto in cui il sole raggiunge la posizione più alta e quello in cui ritorna nella stessa posizione.
hanno diviso questo intervallo di tempo in 86.400 parti e scelto una di queste parti come unità di misura per il tempo. Questa unità di misura è stata chiamata secondo.
Il tempo è veramente prezioso per tutto.
Questi orologi si chiamano cronometri.
e in 1/4 di minuto?
come potete anche scrivere 63 secondi ? e 125 secondi?
Misurate in una giornata di sole la vostra ombra ad ogni ora e vedrete riportando i risultati su un quaderno che non sarà sempre uguale
In quale ora del giorno sarà più corta ? e in quale più lunga ?
Se avete un bastone disponetelo verticalmente in un posto illuminato tutto il giorno e osservate la sua ombra
Tracciate con il gesso una line di ombra del bastone una volta gli antichi misuravano il tempo in questo modo
Ad ogni linea corrisponde un'ora.
Se poi suddividete gli intervalli tra un'ora e l'altra avrete mezz'ore e quarti d'ora questo strumento viene chiamata meridiana
la misura del tempo è cosa famigliare a tutti. Tutti avete idea di cosa siano il secondo il minuto l'ora il giorno la settimana il mese l'anno il secolo.
ogni intervallo di tempo si può misurare nel modo più opportuno talora conviene usare i giorni altre volte le ore spesso i secondi.
Comunque tutte le misure di tempo possono essere espresse in secondi.
Come mai questa scelta ? Forse il secondo è comodo perché no è molto diverso dall'intervallo di due battiti del cuore , ma la circostanza più importante è stata tratta dalle misurazioni del movimento del sole.
Gli astronomi hanno calcolato con grande precisione il tempo medio che passa tra l'istante esatto in cui il sole raggiunge la posizione più alta e quello in cui ritorna nella stessa posizione.
hanno diviso questo intervallo di tempo in 86.400 parti e scelto una di queste parti come unità di misura per il tempo. Questa unità di misura è stata chiamata secondo.
Il tempo è veramente prezioso per tutto.
Quanto è lungo un minuto ?
In un minuto ci sono 60 secondi. Gli orologi che misurano anche i secondi hanno due lancette più grandi e una più sottile (quella che gira più velocemente) che segna i secondi che passano.Questi orologi si chiamano cronometri.
esercizi
quanti secondi ci sono in mezzo secondo ?e in 1/4 di minuto?
come potete anche scrivere 63 secondi ? e 125 secondi?
Il tempo e le ombre
avete mai osservato la vostra ombra ? è sempre la stessa ?Misurate in una giornata di sole la vostra ombra ad ogni ora e vedrete riportando i risultati su un quaderno che non sarà sempre uguale
In quale ora del giorno sarà più corta ? e in quale più lunga ?
Se avete un bastone disponetelo verticalmente in un posto illuminato tutto il giorno e osservate la sua ombra
Tracciate con il gesso una line di ombra del bastone una volta gli antichi misuravano il tempo in questo modo
Ad ogni linea corrisponde un'ora.
Se poi suddividete gli intervalli tra un'ora e l'altra avrete mezz'ore e quarti d'ora questo strumento viene chiamata meridiana
martedì 10 maggio 2016
teorema di Pitagora
teorema di Pitagora
un notevolissimo caso di equivalenza che torva larga applicazione in tutti i rami della matematica è quello che prende il nome di teorema di Pitagora
disegnate su un cartoncino un qualsiasi triangolo rettangolo ABC costruite tre quadrati sull'ipotenusa e sui cateti
un notevolissimo caso di equivalenza che torva larga applicazione in tutti i rami della matematica è quello che prende il nome di teorema di Pitagora
disegnate su un cartoncino un qualsiasi triangolo rettangolo ABC costruite tre quadrati sull'ipotenusa e sui cateti
da questo si deduce che
in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti
poiché poligoni equivalenti hanno la stessa area il teorema di Pitagora si può enunciare così
in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti
si può affermare che
la misura di un cateto di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato dell'ipotenusa ed il quadrato della misura dell'altro cateto
martedì 29 marzo 2016
espressioni algebriche
le espressioni - algebriche
estendendo una locuzione introdotta nell'aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni
sono per esempio espressioni algebriche :
3 ab^2
7a - b^2
4a+ 2ab^2
_________
a+ b
una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi o frazionari si ottengono sempre numeri razionale
una espressione si dice intera se fra i segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria
attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato
quando alle lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazione indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice valore numerico dell'espressione algebrica per i dati valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato
così ad esempio se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0
-3a +2b^2- 5c
se a =-2
se b= + 1
3
se c= 3
4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
3 4 4 36
estendendo una locuzione introdotta nell'aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni
sono per esempio espressioni algebriche :
3 ab^2
7a - b^2
4a+ 2ab^2
_________
a+ b
una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi o frazionari si ottengono sempre numeri razionale
una espressione si dice intera se fra i segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria
attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato
quando alle lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazione indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice valore numerico dell'espressione algebrica per i dati valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato
così ad esempio se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0
-3a +2b^2- 5c
se a =-2
se b= + 1
3
se c= 3
4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
3 4 4 36
le espressioni
le espressioni - algebriche
estendendo una locuzione introdotta nell'aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni
sono per esempio espressioni algebriche :
3 ab^2
7a - b^2
4a+ 2ab^2
_________
a+ b
una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi o frazionari si ottengono sempre numeri razionale
una espressione si dice intera se fra i segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria
attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato
quando alle lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazione indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice valore numerico dell'espressione algebrica per i dati valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato
così ad esempio se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0
-3a +2b^2- 5c
se a =-2
se b= + 1
3
se c= 3
4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
3 4 4 36
estendendo una locuzione introdotta nell'aritmetica si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni
sono per esempio espressioni algebriche :
3 ab^2
7a - b^2
4a+ 2ab^2
_________
a+ b
una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che le quattro operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi o frazionari si ottengono sempre numeri razionale
una espressione si dice intera se fra i segni di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria
attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato
quando alle lettere di un'espressione algebrica si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono tutte le operazione indicate si ottiene come risultato un numero relativo che si dice valore numerico dell'espressione algebrica per i dati valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato
così ad esempio se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0
-3a +2b^2- 5c
se a =-2
se b= + 1
3
se c= 3
4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
3 4 4 36
martedì 15 marzo 2016
numeri relativi : proprietà dell'addizione
numeri relativi : proprietà dell'addizione
l'addizione di più numeri relativi gode della proprietà commutativa e associativa dell'addizione aritmetica
proprietà commutativa - la somma di più numeri relativi non cambia comunque si muti l'ordine degli addendi
55-7-12+8+ 16 = -12+5+8-7+16
proprietà associativa - la somma di più numeri relativi non cambia se ad alcuni di essi si sostituisce la loro somma effettuata
-3+12-7+4-6
invece di operare secondo la definizione possiamo ad esempio sostituire gli addendi +12 -17 e + 4 con la loro somma effettuata perciò ricordando l'uso delle parentesi si può scrivere
-3+12-17+4 -6 = -3+(12-17+4)-6
la proprietà associativa può essere espressa mediante la seguente regola pratica
in una somma di più numeri relativi si può racchiudere tra parentesi preceduta dal segno + un numero qualunque di addendi scrivendo questi numeri con gli stessi segni che hanno nella somma data
OSSERVAZIONE
i numeri che sostituiscono la somma effettuata no devono necessariamente occupare posizioni consecutive perché mediante la proprietà commutativa si possono sempre ordinare in posizioni consecutive prima di sostituirli con la somma effettuata
proprietà dissociativa - la somma di più numeri relativi non cambia se ad uno di essi si sostituiscono più numeri relativi la cui somma sia eguale al numero soppresso
-7+ (8-5+2) = -7+8-5+2
si può anche dire che per aggiungere a un numero una somma si può aggiungere a quel numero ciascun addendo alla somma
da qui si deduce una regola pratica
quando davanti ad una parentesi che racchiude una somma vi è il segno + si può togliere la partentesi sopprimendo il segno + che a precede e lasciando inalterato i segni dei suoi addendi
usando la proprietà commutativa si possono sommare tra loro separatamente i numeri positivi e quelli negativi e poi si sommano i due numeri relativi ottenuti
l'addizione di più numeri relativi gode della proprietà commutativa e associativa dell'addizione aritmetica
proprietà commutativa - la somma di più numeri relativi non cambia comunque si muti l'ordine degli addendi
55-7-12+8+ 16 = -12+5+8-7+16
proprietà associativa - la somma di più numeri relativi non cambia se ad alcuni di essi si sostituisce la loro somma effettuata
-3+12-7+4-6
invece di operare secondo la definizione possiamo ad esempio sostituire gli addendi +12 -17 e + 4 con la loro somma effettuata perciò ricordando l'uso delle parentesi si può scrivere
-3+12-17+4 -6 = -3+(12-17+4)-6
la proprietà associativa può essere espressa mediante la seguente regola pratica
in una somma di più numeri relativi si può racchiudere tra parentesi preceduta dal segno + un numero qualunque di addendi scrivendo questi numeri con gli stessi segni che hanno nella somma data
OSSERVAZIONE
i numeri che sostituiscono la somma effettuata no devono necessariamente occupare posizioni consecutive perché mediante la proprietà commutativa si possono sempre ordinare in posizioni consecutive prima di sostituirli con la somma effettuata
proprietà dissociativa - la somma di più numeri relativi non cambia se ad uno di essi si sostituiscono più numeri relativi la cui somma sia eguale al numero soppresso
-7+ (8-5+2) = -7+8-5+2
si può anche dire che per aggiungere a un numero una somma si può aggiungere a quel numero ciascun addendo alla somma
da qui si deduce una regola pratica
quando davanti ad una parentesi che racchiude una somma vi è il segno + si può togliere la partentesi sopprimendo il segno + che a precede e lasciando inalterato i segni dei suoi addendi
usando la proprietà commutativa si possono sommare tra loro separatamente i numeri positivi e quelli negativi e poi si sommano i due numeri relativi ottenuti
martedì 16 febbraio 2016
numeri relativi : addizione
l'addizione con i numeri relativi si indica ponendo il segno + fra i numeri relativi chiusi entro una parentesi con il proprio segno
esempio
(+7)+(-15)+(+10)+(-4)
la somma di due numeri relativi è definita dalle definizioni
I la somma di due numeri relativi dello stesso segno è il numero relativo che ha lo setto segno degli addendi e per valore assoluto la somma di loro valori assoluti
esempi
(+7)+(+15) = +22
(-8)+ (-6) = -14
questa regola è evidente se pensiamo a numeri positivi come crediti e i numeri relativi come debiti
II la somma di due numeri relativi di segno contrario è il numero relativo che ha il segno dell'addendo in valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei numeri dati
esempi
(+10) + (-7) = +3
(+15 ) +(-20) = - 5
II la somma di due numeri opposti è 0
esempi
(+7) + (-7) = 0
(-10) + (+10) = 0
IV la somma di un numero relativo e di zero è uguale al primo numero
esempio
(+3)+ 0 = +3
V la somma di più numeri relativi in un dato ordine è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al primo il secondo alla somma ottenuta il terzo e così via
esempio
(+3) + (-10) + (-6) + (+15) + (-7) =
(-7) + (-6) + (+15)+(-7)=
(-13) + (+15) +(-7) =
(+2 )+ (-7) = -5
se uno o più numeri sono frazioni si riducono i valori assoluti al minimo comune denominatore e si sommano i numeri frazionari applicando le regole precedenti
numeri relativi - addizione
esempio
(+7)+(-15)+(+10)+(-4)
la somma di due numeri relativi è definita dalle definizioni
I la somma di due numeri relativi dello stesso segno è il numero relativo che ha lo setto segno degli addendi e per valore assoluto la somma di loro valori assoluti
esempi
(+7)+(+15) = +22
(-8)+ (-6) = -14
questa regola è evidente se pensiamo a numeri positivi come crediti e i numeri relativi come debiti
II la somma di due numeri relativi di segno contrario è il numero relativo che ha il segno dell'addendo in valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei numeri dati
esempi
(+10) + (-7) = +3
(+15 ) +(-20) = - 5
II la somma di due numeri opposti è 0
esempi
(+7) + (-7) = 0
(-10) + (+10) = 0
IV la somma di un numero relativo e di zero è uguale al primo numero
esempio
(+3)+ 0 = +3
V la somma di più numeri relativi in un dato ordine è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al primo il secondo alla somma ottenuta il terzo e così via
esempio
(+3) + (-10) + (-6) + (+15) + (-7) =
(-7) + (-6) + (+15)+(-7)=
(-13) + (+15) +(-7) =
(+2 )+ (-7) = -5
se uno o più numeri sono frazioni si riducono i valori assoluti al minimo comune denominatore e si sommano i numeri frazionari applicando le regole precedenti
numeri relativi - addizione
Iscriviti a:
Post (Atom)